II. Forskning i tidlig algebra
3. Litteraturreviewets metode
Litteraturreviewet er, inspirereret af Boell og Cecez-Kecmanovic (2010; 2014; 2015), baseret på en
hermeneutisk tilgang til reviews. I modsætning til et såkaldt systematisk review (Gough, Oliver, & Thomas, 2017; Pors & Johannsen, 2013) er et hermeneutisk inspireret review ikke en lineær proces, der
nødvendigvis indledes med systematiske databasesøgninger. Reviewprocessen betragtes som en forståelsesproces, der udvikler sig gennem en vekslen mellem dele og helheder, dvs. som en vekslen mellem identifikation af relevante tekster og udvikling af overblik over disse tekster gennem analyser.
Forståelsen af litteraturen udvikler sig således gradvist i en vekslen mellem det Boell og Cecez-Kecmaninov (2014) kalder ´Search and acquisition´ cirklen og ’Analysis and interpretation´ cirklen. Specifikke spørgsmål kan udvikle sig, efterhånden som forskeren gradvist udvikler overblik over helheden.
Figur 3.1. Et hermeneutisk rammeværk for processer i litteraturreviews bestående af to hermeneutiske cirkler (Boell &
Cecez-Kecmanovic, 2014, s. 264.)
Reviewet bygger på tre ´runder´ i de hermeneutiske cirkler fra Boells og Cecez-Kecmanovics model. I det følgende beskriver jeg søgninger og valg i hver af de tre runder.
21 3.1. Første runde
Hensigten med søgningerne i første runde var at skabe et indledende overblik, der kunne kvalificere de styrende spørgsmål og de efterfølgende søgninger ved at introducere terminologi, forskningstilgange og navne på centrale forskere inden for tidlig algebra. Et sådant overblik fremkommer, ifølge Boells og Cecez-Kecmanovics (2010; 2014) primært igennem litteratur, der opsamler og summerer forskningsstudier. I første runde af litteratursøgningen fokuserede jeg derfor på bogudgivelser frem for tidsskriftsartikler og konferencebidrag. Jeg betragtede i denne runde ethvert aspekt af algebra med særligt fokus på de yngste klassetrin som relevant, det vil bl.a. sige både historik, rammeværk, undervisning, læring og
lærerkompetencer.
Først identificerede jeg relevante håndbøger med søgestrengen ”handbook” AND ”mathematics education”
i databasen AU LIBRARY, og dernæst andre relevante bogudgivelser i samme database med søgestrengen
"early algebra" OR "prealgebra" OR "pre-algebra", idet jeg fra min indledende, ikke-systematiske, læsning vidste, at algebra på de yngste klassetrin er blevet omtalt som både ’tidlig algebra’ og ’pre-algebra’. Ingen af de to søgninger havde tidsbegrænsninger eller begrænsninger på sprog.
Den første søgning gav 52 poster med håndbøger, hvoraf jeg udvalgte 12 titler, fordi de retter sig mod matematikundervisning og læring i grundskolens normalundervisning. Den anden søgning gav 29 poster med bøger, hvoraf de 14 var gengangere.
Hensigten med den efterfølgende sortering og udvælgelse af bogkapitler var at identificere de mest relevante tekster i søgningen. Teksterne sorterede jeg efter det kriterium, at de vedrørte ’primary
education’ (6-11-årige). På den måde blev de i alt 67 poster reduceret til 42 poster. 38 af de i alt 42 tekster var fra før 2012. Jeg anvendte, jf. Boells og Cecez-Kecmanovics anbefalinger (2014), Google Scholar til at sortere disse 38 tekster efter det antal gange, de var blevet citeret (september, 2017). Målet med denne fremgangsmåde var at skabe overblik over fagområdet ud fra de mest benyttede tekster. I senere søgninger ville jeg kunne vende tilbage til de poster, der var relevante for netop de aspekter af tidlig algebra, som jeg udvalgte på baggrund af overblikket. Af pragmatiske grund valgte jeg 50 citeringer, som grænsen for inklusion af teksterne. Det førte til 12 tekster, som jeg læste sammen med de 4 af teksterne, der var udgivet efter 2012 - og som derfor ikke havde haft store muligheder for at opnå mange citeringer, men som kunne være de mest aktuelle.
Læsningen af de i alt 16 tekster foretog jeg i rækkefølge efter deres udgivelsesår for at give mulighed for at spore eventuelle udviklinger inden for fagområdet. Undervejs i læsningen noterede jeg relevante søgeord,
22
navne på forskere, konferencer og pointer. Disse noter dannede grundlag for følgende beslutninger om den fortsatte proces:
• Perioden for litteraturreviewet blev afgrænset til 1995-2017.
Denne periode valgte jeg, fordi flere af teksterne i 1. runde omtalte et skift for forskningen i grundskolens algebra, som fandt sted midt i 1990´erne. Frem til dette tidspunkt fokuserede forskningen primært på mellem- og sluttrinselevers fejl og misopfattelser inden for algebra, men i de følgende år har forskningen bl.a. fokuseret på de algebraiske forståelser, som grundskolens yngste elever er i stand til at udvikle gennem undervisning (Carraher & Schliemann, 2007; Kaput, 2008; Kieran, 2006; Kieran, Pang, Schifter &
Ng, 2016; Stephens, Ellis, Blanton & Brizuela, 2017). Ifølge teksterne blev dette skift især initieret af en række arbejdsgrupper, herunder the U.S. Department of Education Algebra Initiative Colloquium, som i 1995 udgav en rapport, der anbefalede en satsning på tidlig algebra (Schoenfeld, 1995). Denne rapport fremhæves i flere tekster som en af de faktorer, der dannede afsæt for forskningen i området (Carraher &
Schliemann, 2007; Kieran et al., 2016; Stephens et al., 2017)
• Den relevante aldersgruppe blev afgrænset til intervallet fra 6 år til 12 år.
Denne afgrænsning blev anvendt i de af de 16 tekster, som omtalte en specifik aldersafgrænsning.
• Et nyt relevant søgeord blev tilføjet til de søgeord, der blev anvendt i første runde: (early) algebraization
Det viste sig, at denne betegnelse i nogle sammenhænge blev brugt om algebralæring og -undervisning på de yngste klassetrin (Cai & Knuth, 2011).
3.2. Anden runde
Hensigten med søgningerne i anden runde var at identificere relevant forskningslitteratur fra både tidsskrifter, bøger og konferencer. Til det formål valgte jeg databasen ERIC, fordi denne database giver adgang til store mængder af uddannelsesrelateret litteratur, og MathEduc, og fordi det er en international database inden for matematikdidaktik.
I ERIC anvendte jeg følgende søgestreng:
“ab(algebra*)” OR “pre-algebra” OR ”prealgebra” OR “early algebra” OR “algebraic thinking” OR “algebraic reasoning”.
23
Med denne søgestreng inkluderes tekster, hvor ordet ´algebra´ eller forlængelser af ´algebra´, for eksempel
´algebraization, findes i tekstens abstracts. Desuden inkluderes tekster, hvor ordene ´pre-algebra´,
´prealgebra´, ´early algebra´, ´algebraic thinking´ eller ´algebraic reasoning´ findes et vilkårligt sted i teksten.
Jeg afgrænsede søgningen til tekster, der er ´peer reviewed´, til sprogene engelsk, dansk, svensk og norsk, og til uddannelsestrinnene ´early childhood education´, ´elementary education´, ´grade 1, 2 ,3 ,4 ,5, 6´,
´intermediate grades´ og ´primary education´. Søgningen gav i alt 353 tekster.
I MathEduc valgte jeg koderne H11, H12 og H13 for at søge inden for kategorien ´Algebra´ (H) og
underkategorien ´comprehensive works on algebra and the teaching of algebra´. Det sidste tal i hver kode betegner aldersklasserne: ´preschool´ (1), ´1st. to 4th year of school´ (2) og ´5th to 10th year of school´ (3).
Denne søgning gav i alt 92 nye tekster.
Rundens databasesøgning gav i alt 445 tekster, som jeg reducerede til 162 på baggrund af læsning af resuméer og til 51 på baggrund af fuldtekstlæsning ud fra følgende inklusionskriterier:
1) Publiceret i perioden 1995-2017 2) Fokus på elever i aldersgruppen 6-12 år 3) Publiceret under review
4) Fokus på undervisnings i og/eller læring af algebra
5) Forskningsprojekter og forskningsbaserede diskussioner af tidlig algebra
Kriterie 1) og 2) valgte jeg, som beskrevet, i første runde. Kriterie 3) valgte jeg for at sikre teksternes videnskabelige kvalitet. Kriterie 4) og 5) valgte jeg ud fra min interesse i at undersøge, hvad der kan og bør opfattes som algebraisk viden og kunnen på de yngste klassetrin, hvorfor det er hensigtsmæssigt at undervise i tidlig algebra, samt hvordan og i hvilken grad elever på yngste klassetrin kan udvikle disse former for viden og kunnen. Disse kriterier medførte bl.a., at jeg fravalgte tekster, som fokuserer på lærerkvalifikationer knyttet til algebraundervisning.
For at bevare overblikket over den voksende mængde af tekster udfyldte jeg til hver tekst, dvs. til de 16 tekster fra første runde og de 51 tekster fra anden runde, et skema med noter i følgende kategorier:
24 Reference
Type forskning
Resume med forskningsresultater (i hvilken grad) Hvorfor tidlig algebra?
Hvad forstås som indholdet i tidlig algebra?
Hvordan forstås undervisning i tidlig algebra?
Figur 3.2. Skema til noter fra inkluderede tekster.
I løbet af denne anden runde præciserede jeg de spørgsmål, jeg har beskrevet i kapitel 2, til:
1) Hvilke indholdsmæssige rammer for tidlig algebra foreslås?
2) Hvilke begrundelser gives for tidlig algebra?
3) Hvilke indholdsmæssige tilgange til tidlig algebra foreslås?
4) Hvilken rolle spiller kontekster og matematisk syntaks i tidlig algebraundervisning?
5) Hvilket potentiale har 6-12-årige børn for at udvikle algebraisk tænkning i tilknytning til funktionelle sammenhænge?
Disse spørgsmål er forbundet med de oprindelige spørgsmål på følgende måde:
Spørgsmål 1) er forbundet med at undersøge, hvad der kan forstås ved tidlig algebra. Præciseringen består i en tydeliggørelse af, at spørgsmålet drejer sig om indholdet i undervisningen (og fx ikke om tilgange til dette indhold).
Spørgsmål 2) er forbundet med at undersøge, hvorfor det kan være hensigtsmæssigt at undervise i tidlig algebra. Præciseringen består i en tydeliggørelse af, at spørgsmålet drejer sig om, hvordan man kan begrunde forskellige hensigter.
Spørgsmål 3) er forbundet med at undersøge, hvordan kan der undervises hensigtsmæssigt i tidlig algebra.
Igennem min læsning i 1. runde blev jeg i stigende grad bevidst om, at tidlig algebra betragtes som et indholdsområde, der er flettet sammen med andre indholdsområder i matematik. Alt efter hvilke indholdsområder, der kombineres, tales om forskellige tilgange til indholdet. Spørgsmål 3) sigter på at belyse disse forskellige indholdsmæssige tilgange.
Igennem min læsning i 1. runde blev jeg også i stigende grad opmærksom på, at der er forskelle på den betydning, forskere tillægger kontekster og matematisk symbolsprog i tidlig algebra. Set i forhold til det
25
oprindelige spørgsmål om at undersøge, hvordan man kan undervise i tidlig algebra, opfattede jeg disse forskelle som relevante. Det er baggrunden for, at min belysning af hvordan-spørgsmålet også kom til at omfatte spørgsmål 4).
Endelig er spørgsmål 5) forbundet med at undersøge, i hvilken grad det er muligt for elever på de yngste klassetrin at lære algebra. Præciseringen består i afgrænsningen af, at det drejer sig om 6-12-årige elevers algebraiske tænkning i tilknytning til funktionelle sammenhænge. Jeg valgte denne afgrænsning, fordi jeg igennem min læsning i 1. runde kom til at betragte funktionelle sammenhænge som en tilgang til tidlig algebraundervisning, der rummer et stort potentiale, men som endnu er forholdsvist lidt belyst på de yngste klassetrin.
3.3. Tredje runde
Hensigten med søgningerne i tredje runde var at identificere evt. nye perspektiver på tilgange til tidlig algebraundervisning og tilføjelser til perspektiver, som blev identificeret i anden runde. Til dette formål anvendte jeg referencelistesøgninger. Søgningerne havde i denne runde karakter af ’snowballing’, dvs. en proces, hvor bunken af relevante tekster vokser gradvist, efterhånden som (nogle af) de udvalgte tekster
´peger´ på nye tekster, der kan være relevante (Boell & Cecez-Kecmanovic, 2014; Greenhalgh et al., 2005).
Søgningerne førte til tilføjelse af 18 nye tekster. Til hver af disse 18 tekster udfyldte jeg skemaet fra figur 3.2 med noter.
3.4. Overblik over teksterne i reviewet
De tre runder gav henholdsvis 16, 51 og 18, i alt 85, publikationer, som geografisk fordeler sig på følgende måde: ca. 67 % af teksterne er fra USA, ca. 9 % fra Canada, ca. 9 % er fra Australien, ca. 5 % fra Asien og ca.
9 % er fra Europa. Ingen af de inkluderede tekster er fra Sydamerika eller Afrika, og de nordiske lande er ikke repræsenteret.
42 af teksterne rapporterer kvalitative studier, der bygger på forsøgsundervisning, observationer og/eller interviews. 13 af teksterne rapporterer kvantitative studier, hvor effekten af en variabel (typisk en bestemt type undervisningsindsats) afprøves blandt en repræsentativ gruppe elever ved hjælp af før- og eftertest og sammenlignes med en kontrolgruppe. 7 af teksterne kombinerer kvalitative og kvantitative tilgange, og 23
26
af teksterne er litteraturstudier, der bygger på andre tekster med henblik på at rammesætte eller skabe overblik over forskningsområdet, eller med henblik på at udvikle eller diskutere teoretiske positioner.
72 af teksterne giver konkrete forslag til indholdsmæssige tilgange til tidlig algebraundervisning. De øvrige 13 tekster giver udelukkende mere overordnede perspektiver på tidlig algebra.
3.5. Analyse af teksterne
Som tidligere beskrevet knyttede min analyse sig til følgende fem spørgsmål:
1) Hvilke indholdsmæssige rammer for tidlig algebra foreslås?
2) Hvilke begrundelser gives for tidlig algebra?
3) Hvilke indholdsmæssige tilgange til tidlig algebra foreslås?
4) Hvilken rolle spiller kontekster og matematisk syntaks i tidlig algebraundervisning?
5) Hvilket potentiale har 6-12-årige børn for at udvikle algebraisk tænkning i tilknytning til funktionelle sammenhænge?
9 af de inkluderede tekster giver i alt tre forskellige karakteristikker af, hvad der kan forstås som indholdet i tidlig algebra, jf. spørgsmål 1). Min analyse i tilknytning til dette spørgsmål bestod i en sammenligning af disse tre forskellige karakteristikker. Resultatet af analysen findes i kapitel 4.
I alt 17 af de inkluderede tekster adresserer begrundelser for at etablere fagområdet tidlig algebra, jf.
spørgsmål 2). Jeg kategoriserede og syntetiserede disse begrundelser. Resultatet blev et overblik over de begrundelser for etableringen af fagområdet tidlig algebra, som findes i forskningslitteratur. Overblikket findes i kapitel 6.
Min analyse i tilknytning til spørgsmål 3) og 4) baserede sig på de 72 inkluderede tekster, der giver konkrete indholdsmæssige forslag til tidlig algebraundervisning. I forbindelse med spørgsmål 3) forsøgte jeg først at skabe overblik over ligheder og forskelle mellem teksternes forskellige forslag til indholdsmæssige tilgange ved at anvende de karakteristikker af tidlig algebra, jeg havde identificeret i forbindelse med spørgsmål 1).
Med disse karakteristikker fandt jeg det dog ikke muligt at kategorisere teksterne på en måde, som gav mig det overblik, jeg eftersøgte. Med inspiration fra åben kodning og konstant sammenligning (Glaser &
Strauss, 1967) ændrede jeg min tilgang til analysen, så den foregik i tre faser: Første fase bestod i
udarbejdelsen af noter til hver tekst (jf. skemaet i figur 3.2). Disse noter fokuserede bl.a. på en karakteristik af de forslag til indholdsmæssig tilgang til tidlig algebra, som kom til udtryk i teksterne. Jeg beskrev bl.a.
27
teksternes forslag til fagligt stof og forslag til typer af aktiviteter. Anden fase bestod i at sortere de
indholdsmæssige tilgange efter typer af stof og aktiviteter. Til hver tekst knyttede jeg foreløbige koder, som reflekterede de typer stof og aktiviteter, der blev beskrevet. Den tredje fase bestod i flere gennemgange af noterne og af kodning af de indholdsmæssige tilgange i hver tekst. I denne fase justerede jeg koderne indtil der på en meningsfuld måde kunne knyttes en kode til både stoftype og til aktivitetstype i hver af de indholdsmæssige tilgange, der blev foreslået i teksterne. Resultatet blev en model for indholdsmæssige tilgange til tidlig algebra, som jeg præsenterer i afsnit 6.1.
I tilknytning til spørgsmål 4) bestod min analyse i en kategorisering af de 72 tekster efter en model, der er foreslået af Carraher og Schliemann (2007). Resultatet af analysen er, udover selve kategoriseringen, tre iagttagelser om kontekster og matematisk syntaks i tidlig algebraundervisning, som jeg gør rede for i afsnit 6.4.
Min analyse i forbindelse med spørgsmål 5) var baseret på de 34 tekster, jeg havde kategoriseret under
’funktionelle sammenhænge’. Jeg syntetiserede de perspektiver på funktionelle sammenhænge og de forskningsresultater, der er beskrevet i teksterne. Resultatet blev et overblik over den viden, vi har om 6-12-årige børns potentiale for at udvikle algebraisk tænkning med funktionelle sammenhænge som tilgang.
Jeg præsenterer dette overblik i kapitel 7.
28