V. Analyse af forsøgsklassens læringsspor
16. Introduktion til del V
I denne del af afhandlingen gør jeg rede for det læringsspor, forsøgsklassen i studiet rent faktisk kom til at følge på baggrund af det planlagte design. Hensigten er at dokumentere, hvordan designet udfoldede sig i praksis, og hvilken faglig udvikling denne udfoldning medførte i klassen. Set i forhold til
argumentationskæden, jeg beskrev i afsnit 10.6, er hensigten at besvare spørgsmål 3 og 4:
3. How (well) was this strategy (design) implemented?
4. What were the effects/results of implementing this strategy (design)?
(Bakker 2018, s. 104-105)
Jeg forfølger denne hensigt ved at gøre rede for
1) de sociale og sociomatematiske normer, der karakteriserede forsøgsklassen.
2) hvilke matematiske klasserumspraksisser, der opstod i forsøgsundervisningen.
3) hvordan forskellige, individuelle elever deltog i disse klasserumspraksisser.
4) hvordan designet på nogle punkter ændrede sig i forhold til planlagte som følge af Heidis og mine løbende analyser i studiets minicykler.
Set i forhold til formålet er punkt 1) relevant, fordi klassens sociale og sociomatematiske normer har afgørende betydning for den måde, designet udfoldede sig i klassen og for de læringsmuligheder, der opstod. Punkt 2) er relevant, fordi det dokumenterer, hvordan forsøgsklassen samlet set rykkede sig fagligt igennem undervisningen. Punkt 3) er relevant, fordi klasserumspraksisser kan dække over ganske store forskelle i individuelle elevers måder at argumentere, tænke og symbolisere på (se også afsnit 11.6). Punkt 4) er relevant, fordi det bidrager til at demonstrere den faktiske implementering. I de tilfælde, hvor justeringerne ikke skyldes lokale forhold, kan punkt 4) give fingerpeg om, hvordan det hypotetiske læringsspor kan forbedres.
Redegørelsen er resultatet af en analyse, der bygger på Cobb og Whitenack (1996) tilpasning af Glaser og Strauss´ (1967) konstante sammenligningsmetode til brug i designforskning. Jeg indleder derfor del V med i kapitel 17 af gøre rede for denne metode og for, hvordan jeg konkret har anvendt metoden i studiet.
I kapitel 18 karakteriserer jeg derefter forsøgsklassens sociale og sociomatematiske normer, og i kapitel 19 til 25 gør jeg rede for syv matematiske praksisser, der opstod i klasserummet i forsøgsperioden, for hvordan
156
forskellige elever deltog i disse praksisser og for de beslutninger om justeringer i undervisningsplanen, jeg og Heidi løbende foretog igennem forløbet.
I denne del af afhandlingen findes en række referencer til videoer af de episoder fra forsøgsundervisningen, jeg omtaler i teksten. I den elektroniske version af afhandlingen kan videoerne tilgås ved at følge de
indsatte links. I overensstemmelse med de skriftlige aftaler, der er indgået med deltagerne, må disse videoer vises i forbindelse med formelt etablerede forsknings-, udviklings- og uddannelsesaktiviteter - og kun i sådanne forbindelser. Adgang til videoerne kræver et kodeord, som man kan få oplyst ved at sende en mail til mig med en kort redegørelse for, hvad videoerne skal bruges til. Kodeordet må deles i faglige miljøer, men ikke offentliggøres generelt. I teksten indgår desuden transskriberede brudstykker fra forsøgsundervisningen. I disse brudbrudstykker er elevernes virkelige navne ændret og derfor anderledes end i videoerne.
Jeg har tidligere beskrevet dele af forsøgsklassens udlevede læringsspor i artiklerne ’Tidlig algebra’ (Kaas, 2020A), ’Algebra på de yngste klassetrin - grundskole’ (Kaas, 2020B) og ’Algebra fra 1. til 10. klasse - hvad, hvorfor, hvordan?’ (Kaas, 2021)
157
17. Analysemetode
I dette kapitel præsenterer jeg min tilgang til analysen, der bygger på en metode, som er beskrevet af Cobb og Whitenack (1996). Jeg gør først rede for denne metode, og efterfølgende beskriver jeg, hvordan jeg konkret har anvendt den til analyserne i denne del af afhandlingen.
17.1. Analysemetode
Som pointeret af Cobb et al. (2003) er udfordringen ved at give en troværdig fremstilling af et stort datamateriale fra et længerevarende studie væsentlig anderledes end udfordringen ved at give en troværdig fremstilling af et kortvarigt studie. Den særlige udfordring består bl.a. i, at selv om en
redegørelse for et længerevarende studie er baseret på detaljer i specifikke situationer i et klasserum, så er det ikke muligt at beskrive alle sådanne situationer detaljeret. Standardkonventionen for rapportering af tolkningsanalyse er i stedet at præsentere repræsentative episoder for at klarlægge de påstande, der er opstået igennem analysen. Det er derfor, ifølge Cobb og hans kolleger, vigtigt at understrege, at disse påstande om den fælles læring i klasserummet typisk ikke er fremkommet fra analysen af en enkelt episode. Der er tværtimod tale om, at fortolkningen af enkelte episoder og afgrænsningen af generelle påstande er afhængige i den forstand, at de informerer hinanden.
Cobb og Whitenack (1996) har foreslået en metode, de omtaler som en konstant sammenligningsmetode, til analyse af videooptagelser og transskriptioner fra længerevarende klasserumsstudier. Denne metode søger at tage højde for, at episoder i et klasserum må ses i relation til de konklusioner, der går på tværs af hele datasættet. Min analyse af forsøgsklassens læringsspor følger grundlæggende denne metode, som jeg derfor redegør for i det følgende. Redegørelsen bygger dels på Cobb og Whitenacks introduktion (1996) og på Cobb et al.´s (2001) beskrivelse af metoden til analyse af matematiske praksisser i klasserum. Den sidstnævnte kilde er særlig interessant i forbindelse med analysen, fordi den også fokuserer på matematiske praksisser.
Metoden sigter på at udvikle sammenhængende, troværdige redegørelser for den mening, der kan knyttes til data. For at producere sådanne redegørelser må forskeren fordybe sig i den sociale situation, han prøver at forstå, ved at agere som en deltagende observatør. På den måde kan han dokumentere hændelser fra deltagernes aktivitet, der kan give grundlag for generelle temaer eller kategorier, når de sammenlignes med hinanden. En grundlæggende ide med metoden er, at nye data løbende sammenlignes med de forslag til temaer og kategorier, som forskeren har opstillet på et givent tidspunkt. Denne proces med vedvarende
158
sammenligninger af hændelser kan føre til løbende raffinering af de teoretiske konstruktioner, der kan udvikles fra data. Som en konsekvens er de konstruktioner, der opstår igennem denne proces, ifølge Cobb og Whitenack (1996) empirisk baseret i data.
Cobb et al. (2001) har bl.a. anvendt metoden til analyse af matematiske praksisser i en 1. klasse, der arbejdede med længdemåling. I første fase af denne analyse arbejdede de sig igennem datamaterialet i kronologisk rækkefølge, episode for episode, dvs. i undervisningssekvenser, hvor aktivitet og samtale var knyttet til ét matematisk tema. Til hver episode udviklede de formodninger om de måder at ræsonnere og kommunikere på, som kunne være normative i klassen på det givne tidspunkt og om karakteristika ved udvalgte individuelle elevers matematiske tænkning. De ekspliciterede disse formodninger til hver episode sammen med begrundelserne for dem i en analyselogbog. I logbogen registrerede de også, hvordan
formodninger fra tidligere episoder blev testet og revideret, efterhånden som de analyserede nye episoder.
På den måde resulterede analysen i første fase i en kæde af formodninger, afkræftelser og revideringer, som var baseret på detaljerne i de specifikke episoder.
I anden fase af metoden betragtede de logbogen fra første fase som data, de kunne metaanalysere med henblik på at udvikle en kortfattet, empirisk baseret kronologi i den matematiske læring, der over tid fandt sted i klasserummet og hos udvalgte individuelle elever. I anden fase granskede de således deres
formodninger fra første fase om de matematiske klasserumspraksisser, der kunne være ved at udvikle sig, fra et mere overordnet perspektiv, der gik på tværs af hele undervisningsforsøget. Resultatet af analysen formulerede de i form af matematiske klasserumspraksisser og som beskrivelser af elevers forskellige måder at deltage i disse praksisser på.
Cobb et al. (2001) betragter den beskrevne metode som en version af Glaser og Strauss´ (1967) konstante sammenligningsmetode. Ligheden består især i, at forskeren i analyseprocessen løbende tager sine foreløbige formodninger om teoretiske konstruktioner op til overvejelse, efterhånden som flere data analyseres. Ved konstant at sammenholde sine foreløbige bud på fx kategorier, der kan forklare deltageres handlinger, med de nye data, får disse kategorier mulighed for løbende at blive raffineret, så de
efterhånden kan udvikles til stabile, forklarende konstruktioner. Specielt kan tilfælde, hvor de foreløbige teoretiske konstruktioner er i strid med de nye data give anledning til, at konstruktionerne justeres.
Der er imidlertid også en forskel mellem de to metodiske tilgange. Med Glaser og Strauss´ tilgang (1967) udvikles teoretiske kategorier eller konstruktioner forfra i hver undersøgelse. I modsætning hertil byggede Cobb et al. (2001) i deres analyser videre på overordnede teoretiske kategorier eller konstruktioner fra tidligere undersøgelser. For eksempel byggede Cobb og hans kolleger i deres undersøgelse af 1. klasses elevers udvikling af faglig viden og kunnen om længdemåling på konstruktionen ’klasserumspraksisser’. Nok
159
var de i undersøgelsen åbne for, at denne konstruktion i sig selv kunne raffineres eller udvides, men konstruktionen var blevet til i forbindelse med tidligere studier, og Cobb et al. begyndte således ikke forfra med helt åbne kategorier i deres nye studie. Hos Cobb et al. (2001) vedrørte den konstante sammenligning således primært indholdet af de konkrete klasserumspraksisser, der opstod i undervisningen i 1. klassen.
Både Glaser og Strauss´ (1967) konstante sammenligningsmetode og Cobb & Whitenacks (1996) tilpasning af metoden står, ifølge Cobb et al. (2001), i modsætning til metodiske tilgange, hvor rationale måder at handle på udelukkende betragtes som måder, der er forbundet med et fællesskabs normer og standarder.
Matematiklæring i et klasserum kan fx alene betragtes som et spørgsmål om at blive i stand til at bruge konventionelle redskaber og symboler på accepterede måder. Med en sådan udgangspunkt vil dataanalyse, der er forbundet med matematikfaglig udvikling i klasserum, primært være et spørgsmål om, i hvilken grad eleverne bruger disse redskaber og symboler. I deres metodiske tilgang søger Cobb og hans kolleger derimod at række ud over observationer af det, de omtaler som socialt brug af redskaber og symboler ved at fokusere på både de antaget-fælles forståelser, der opstår i klasserummets fællesskab, og i de måder individuelle elever deltager i de fælles praksisser. Efter min opfattelse harmonerer den konstante sammenligningsmetodes ambition om at basere teoretiske konstruktioner i empiri på den måde med emergensperspektivet på matematiklæring og -undervisning (se også kapitel 11).
Som beskrevet i det forrige er det, ifølge Cobb og Whitenack (1996), ikke alle teoretiske konstruktioner, der i ethvert studie nødvendigvis skal udvikles fra grunden. Eftersom matematiske klasserumspraksisser i flere tidligere designstudier har vist sig at være en konstruktion, der er meningsfuld i forhold til både
emergensperspektivet på læring og undervisning og i forhold til designforskning, har jeg fulgt Cobb et al.
(2001) og valgte på forhånd klasserumspraksisser som en central teoretisk konstruktion. I tillæg
kategoriserede jeg, som det fremgår af det følgende afsnit, fra begyndelsen af analysen data i kategorier, der var forbundet med forsøgsundervisningens målsætning, normer og organisationsformer - altså i kategorier, som stammer fra studiets forberedende fase.
17.2. Den konkrete analysetilgang
Konkret har jeg arbejdet med analysen i tre faser. I den første fase opdelte jeg videooptagelserne fra forsøgsundervisningen i episoder og kategoriserede dem.
160
Hver episode består af et videoklip med et bestemt matematisk fokus, som indgår i en iscenesættelse af en matematisk aktivitet, i en elevgruppes arbejde med aktiviteten eller i en klassesamtale. Længden af hver episode var typisk mellem 3 minutter og 12 minutter.
Kategorierne bestod af de to typer af algebraisk tænkning, der kommer til udtryk i målene for
undervisningen (se afsnit 9.1), af de normer der er knyttet til Cobb og Yackels (1996) fortolkning af elevers matematikfaglige udvikling i klasserum (se afsnit 11.3) og af de forskellige organisationsmåder, der indgik i forsøgsundervisningen (se afsnit 14.2). Hver kategori var underopdelt, som det fremgår af figur 17.1.
Denne kategorisering medførte, at visse klasserumsaktiviteter (fx pauser, madpakkespisning og dialoger om situationer fra frikvarteret) blev udeladt, men at al aktivitet, der mere direkte vedrører matematiklæring og undervisning, indgår. Kategoriseringen medførte også, at en episode kan tilhøre flere kategorier.
Figur 17.1 viser min kategorisering af episoderne til 2. forløb i forsøgsundervisningen. Hver episode er navngivet efter sted (MS), dato og er givet et bogstav, der indikerer den kronologiske rækkefølge af dem.
Overkategori Underkategori 13. november 14. november 20. november 21. november 4. december 5. december 11. december 12. december
Figur 17.1. Første fases kategorisering af episoderne fra forsøgsundervisningens del 2.
Kategoriseringen gør det muligt at anvende data i form af videoklip på mindst to forskellige måder. En mulighed er at ’gå ind i’ figuren lodret og arbejde med episoderne i kronologisk rækkefølge. En anden mulighed er at fokusere på en eller flere af de vandrette rækker i figuren. I analysen har jeg anvendt begge disse indgange. Min karakteristik af forsøgsklassens sociale og sociomatematiske normer bygger således på de episoder, som jeg knyttede til disse to underkategorier, altså en ’vandret tilgang’. Min redegørelse for de matematiske praksisser, der opstod i forsøgsklassen, bygger derimod på en kronologisk gennemgang af alle
161
episoderne, altså en ’lodret tilgang’. Desuden bygger min redegørelse for udvalgte elevers forskellige måder at deltage i disse praksisser på i tillæg på elevinterviewene.
I anden fase af analysen gennemgik jeg alle episoderne fra både forsøgsundervisningen og
elevinterviewene med fokus på matematiske praksisser. Desuden gennemgik jeg de udvalgte episoder med fokus på sociale- og sociomatematiske normer. Jeg tog udgangspunkt i videoklippene fra episoderne og elevinterviewene. Disse data supplerede jeg med mine noter, med skærmbilleder af tavler og med de skriftlige elevarbejder, der knyttede sig til episoderne og interviewene.
Undervejs i analysen identificerede jeg 7 af elevinterviewene og 5 af episoderne som særlig centrale.
Interviewene og disse episoder transskriberede jeg for at kunne basere analysen på både video og på tekst og for at kunne bruge transskriberingerne som eksempler i denne afhandling.
I forbindelse med mit fokus på matematiske praksisser noterede jeg i tilknytning til hver episode det, der (jf. redegørelsen i afsnit 11.6) for mig så ud til at karakterisere den matematiske praksis i situationen, dvs.
accepterede måder at
• tænke på i forbindelse med de matematiske ideer, vi arbejdede med
• symbolisere på i forbindelse med de matematiske ideer, vi arbejdede med
• argumentere på i forbindelse med de matematiske ideer, vi arbejdede med.
Mine noter fokuserede både på klasserumspraksisser og på individuelle elevers handlinger i klasserummet.
Jeg formulerede med andre ord formodninger om generelle klasserumspraksisser, der var så ud til at være opstået på tværs af de enkelte episoder, og om karakteren af udvalgte elevers måder at deltage i disse praksisser på. Det var fx formodninger om bestemte måder at tænke, symbolisere og argumentere på i tilknytning til generalisering af lineære sammenhænge.
Fra episode til episode forholdt jeg mig til disse formodninger, og i nogle tilfælde bekræftede nye episoder mig i, at bestemte måder at tænke, symbolisere og argumentere på havde normkarakter. I andre tilfælde konstaterede jeg, at de formodninger, jeg havde haft i forbindelse med tidligere episoder, ikke længere så ud til at holde. Mine analyser af nye episoder førte derfor til løbende justeringer af min opfattelse af de klasserumspraksisser, der opstod i forsøgsundervisningen og af min opfattelse af den måde, udvalgte elever deltog i dem på. I mere generelle termer benyttede jeg mig af Cobb og Whitenacks konstante
sammenligningsmetode for at sammenkæde min analyse af de enkelte episoder med den større fortælling på tværs af episoderne.
162
På tilsvarende vis formulerede jeg på basis af udvalgte episoder formodninger om de sociale og sociomatematiske normer i forsøgsklassen, det vil kort sagt sige formodninger om normative måder at arbejde med matematik på og om, hvad der kendetegner lødig matematisk aktivitet i klassen (se afsnit 11.4 og 11.5). Også disse formodningerne testede og reviderede jeg løbende i 2. fase, efterhånden som jeg arbejdede mig igennem det udvalgte materiale.
De samlede notater om de emergerende klasserumspraksisser kom til at udgøre det, Cobb et al. (2011) kalder en analyselogbog. Den omfatter resumeer af de enkelte episoder, noter om enkeltelevers måder at tænke, symbolisere og argumentere på samt formodninger om karakteren af disse måder og
klasserumspraksisserne på det givne tidspunkt i forløbet. Figur 17.2 viser et eksempel fra analyselogbogen med mine noter til en enkelt episode i 2. del af forsøgsundervisningen2.
Resume af episoden
Fælles om aktiviteten ’Snoreklip’. Heidi indsamler tal til en tabel på tavlen. Ida fortæller om det rekursive mønster. Emma siger, at det er de ulige tal. H: Kan man få 16 snore på denne klippemåde? Maria: Vi fik 16 snore ud fra 6 klip. Heidi tegner på tavlen, og klassen tegner og taler sig frem til løsningen (der er 13). ’Så måske var der en fejl. Kunne jeg tælle snorene på en smartere måde? Torbjørn skiptæller (2, 4, 6, 8, 10, … ). H: Andre måder? Felix viser, hvordan han tæller den ene side, dobler og sætter den sidste på. Willy argumenterer for, at det altid vil være ulige. Fordi der altid er ´1 deroppe´. Emma viser, hvad det bliver med 10 klip. De har klippet 10 og talt dem. Lisa og Kristian sagde, at det blev 22, men det kan ikke blive et lige tal. Mejse: I stedet for at klippe kan man bare springe 2. Man kan jo klippe de første og (der fra) kan man bare springe 2. Sara: Man kan tage det dobbelte og plusse med 1. Man tager 6´eren, dobler og putter 1 på. Klassen prøver med forskellige tal (det ser ud til at virke). Kristian giver et argument (med støtte i tegning). H afslutter episoden med at spørge: Kan man skrive reglen med bogstaver? (Derefter får eleverne kort pause).
Tænkning
Nogle elever fortæller om det rekursive mønster, de har opdaget (fx Ida).
Felix og Sara fortæller derimod om den generelle korrespondance (man kan tage det dobbelte og plusse med 1).
Jeg opfatter umiddelbart Saras generalisering som en kontekstuel generalisering (i Radfords forstand), der er repræsenteret i naturligt sprog. Det er uklart, hvordan hun er nået frem til denne (om det er via tabellen eller via konteksten). Kristian gør tydeligt rede for sammenhængen mellem konteksten og Saras generalisering.
Symbolisering
I episoden er der et ret tydeligt samspil mellem den ikoniske repræsentation af snorene og klippene på den ene side, tabellen på den anden side og verbale repræsentationer på den tredje side. Fx ser det ud til, at det er tabellen, der sætter gang i opdagelsen af det rekursive mønster, som Ida beskriver verbalt. Det ser også ud til, at Kristian kan oversætte Saras mundtlige generalisering af korrespondancesammenhængen til den ikoniske repræsentation.
Argumentation
I episoden er der både argumentation, der bygger på konteksten (Kristians og Willys) og argumentation, der bygger på videre på den erkendelse, at der kun kan være ulige tal i tabellen. (Hvis der kun kan være ulige tal, så kan 22 stå der).
Kommentarer/memo
Her tegner sig et billede af en matematisk praksis om at generalisere lineære sammenhænge i uformelt sprog. I denne praksis spiller relationerne mellem konkrete repræsentationer (konteksten), ikoniske repræsentationer (tegningen), symbolske repræsentationer (Saras verbalsproglige formulering) tilsyneladende en rolle som en slags ’katalysatorer’ for hinanden. Det er svært at forestille sig, at Saras generalisering kunne komme i stand uden tegningen. Til gengæld er det bemærkelsesværdigt, at Sara tilsyneladende i denne situation ikke har brugt konkrete regnestykker som ’trinbræt’ til generaliseringen (fx 3*2+1), for det har jeg tidligere betragtet som en afgørende støtte. Hun kan selvfølgelig have gjort det mentalt - jeg kan ikke være sikker.
Figur 17.2. Eksempel på noter til en episode i analysens anden fase.
2Følg linket for at se den samlede analyselogbog. I logbogen er elevernes virkelige navne ændret.
163
I tredje fase gjorde jeg, i lighed med Cobb med flere (2001), analyselogbogen fra anden fase til genstand for (meta-)analyse. Jeg gennemgik med andre ord fra et mere overordnede perspektiv de formodninger om opståede klasserumspraksisser og om enkeltelevers måder at deltage i dem på, som jeg havde formuleret i tilknytning til de enkelte episoder. I min gennemgang fokuserede jeg på udviklingen i de formodninger om normative klasserumspraksisser og enkeltelevers karakteristiske måder at deltage i dem på, som jeg havde noteret. Jeg hæftede mig ved formodninger, der stabiliserede sig på den måde, at de i gentagne episoder blev bekræftet uden yderligere revideringer og uden hændelser i episoderne, som udfordrede dem. Når min karakteristik af en klasserumspraksis både så ud til at harmonere med klassens karakteristiske måder at behandle et bestemt matematikfagligt indhold på, og når disse måder ikke længere udløste spørgsmål, protester eller ønsker om yderligere forklaringer, betragtede jeg med andre ord karakteristikken som formuleringen af en klasserumspraksis.
Resultatet af denne analyse formulerede jeg i kortfattet form som syv klasserumspraksisser, der opstod i forsøgsundervisningen, og som redegørelser for enkeltelevers måder at deltage i disse praksisser på.
Samlet set udgør disse klasserumspraksisser og redegørelser derfor en forholdsvis kortfattet syntese om den matematiske læring, der fandt sted i klasserummet i forsøgsundervisningen, dvs. en redegørelse for, hvordan det hypotetiske læringsspor udfoldede sig i praksis.
164