Indholdsmæssige tilgange til tidlig algebra

II. Forskning i tidlig algebra

6. Indholdsmæssige tilgange til tidlig algebra

I dette kapitel fokuserer jeg på spørgsmålet om, hvordan der kan undervises hensigtsmæssigt i tidlig algebra ved at besvare følgende to spørgsmål på baggrund af de identificerede tekster:

• Hvilke indholdsmæssige tilgange til tidlig algebra foreslås?

• Hvilken rolle spiller kontekster og matematisk syntaks i tidlig algebraundervisning?

Som beskrevet i afsnit 3.5 forsøgte jeg først at skabe overblik over indholdsmæssige tilgange til tidlig algebra ved at kategorisere de inkluderede teksters indholdsforslag efter i de kategorier, der er forbundet med hver af karakteristikkerne i kapitel 4. Af forskellige årsager fandt jeg imidlertid dette

kategoriseringsarbejde vanskeligt. Radfords karakteristik (2011;2014) omfatter ikke kategorier af forskellige typer algebraindhold, så den var, isoleret set, ikke velegnet til at skabe overblik. Udfordringen med Kaputs karakteristik (2008) var, at den udelukker arbejde med ikke-konventionelle symbolsystemer (Kaput, Blanton

& Moreno, 2008), og dermed en stor del af indholdsforslagene i litteraturen. Set i forhold til Kaput udvider Blanton, Levi, Crites og Doughertys karakteristik (2011) de symbolsystemer, de betragter som algebraiske, men jeg fandt det fx vanskeligt at placere indholdsforslag, hvor elever løser tekstopgaver med ubestemte talstørrelser, i deres kategorier: ’generalizing, representing, justifying, and reasoning with mathematical structure and relationships’ (Stephens et al., 2017, s. 387, original kursivering). Min opfattelse var, at nogle forslag til indhold kunne placeres i flere af kategorierne, men at ingen af disse kategorier rigtigt indfangede disse forslag. Kierans globale, metaniveau gjorde det muligt for mig at kategorisere indholdsforslag, som jeg ikke kunne knytte til kategorier i andre karakteristikker, men samtidig oplevede jeg denne kategori som så bred, at den ikke rigtig bidrog til at adskille algebraindhold fra bl.a. aritmetisk indhold.

Ved at lave indholdsanalyse af de inkluderedes tekster konstruerede jeg derfor en ny model, som gjorde det muligt for mig at kategorisere teksternes indholdsforslag på en måde, som jeg fandt meningsfuld (se også afsnit 3.5). I afsnit 6.1 introducerer jeg denne model, der har fællestræk med alle de omtalte

karakteristikker af tidlig algebra. Senere i afhandlingen, i kapitel 9, vender jeg tilbage til disse fællestræk. I afsnit 6.2 og 6.3 uddyber og eksemplificerer jeg modellens kategorier, og sidst i afsnit 6.3 findes et overblik over, hvordan de inkluderede tekster fordeler sig i disse kategorier.

I kapitlets sidste afsnit, 6.4, introducerer jeg endnu en model, som jeg har anvendt til at skabe overblik over de roller forskellige typer af kontekster og matematisk syntaks spiller i teksternes forslag til indhold i tidlig algebra. Jeg afslutter afsnittet med at sammenfatte mine fund.

6.1. En model for indholdsmæssige tilgange til tidlig algebra

De indholdsmæssige tilgange til tidlig algebra, som er foreslået i de identificerede tekster, kan kategoriseres som i modellen i figur 6.1:

Figur 6.1. Tilgange til tidlig algebra. (Tilpasset efter Kaas, 2019A)

Modellen kombinerer to former for algebraisk tænkning med tre forskellige stofområder. Hver af de mulige kombinationer mellem aktiviteter og stof udgør en tilgang til tidlig algebraundervisning.

I de studier, som modellen bygger på, er der ikke nødvendigvis en ensartet forståelse af, hvad der er kernen i algebraisk tænkning, jf. diskussionen i kapitel 4. Det er fx forskelligt, hvilken rolle algebraisk symbolsprog og kontekster spiller. Studierne har dog det tilfælles, at algebraisk tænkning er forbundet med ubestemte talstørrelser og måder at repræsentere disse ubestemte talstørrelser og operationer med dem på (jf.

Radford, 2011; 2014). Stofområderne rummer matematikfagligt stof, som kan komme til at udgøre indholdsmæssige tilgange til disse former for tænkning.

I det følgende uddyber jeg modellen og giver eksempler fra de inkluderede tekster på undervisningsaktiviteter, der kan knyttes til hver celle i den.

50 6.2. Stofområder knyttet til tidlig algebra

De tre forskellige stofområder i modellen harmonerer næsten fuldstændig med de stofområder, som Carraher og Schliemann (2007) og Stephens et al. (2017) har brugt til at kategorisere indholdsmæssige tilgange til tidlig algebra.

Stofområdet ´Aritmetik og tal som tilgang´ (kolonne A) vedrører elevers arbejde med tal og

regneoperationer. Kategorien omfatter egenskaber ved tal, regneoperationer med tal samt opstilling og løsning af ligninger og uligheder.

I litteraturen er der generelt konsensus om, at en tilgang til tidlig algebra kan være at flytte undervisningens fokus fra beregninger med konkrete tal til beregninger med en mængde af tal og dermed understøtte elevers udvikling af algebraisk tænkning. Det kan for eksempel handle om at flytte fokus fra konkrete additionsstykker til addition af lige tal. Findes der en regel, som gælder for addition af lige (naturlige) tal?

Kan I beskrive denne regel? Kan I begrunde den?

Stofområdet ´Aritmetik og kvantiteter som tilgang´ vedrører elevers arbejde med kvantiteter, dvs.

egenskaber ved et fænomen, legeme eller stof, hvor egenskaben har en størrelse, som kan udtrykkes med et tal og en reference (Stephens et al., 2017). Eksempler på kvantiteter kan derfor være: 15 cm, 20 kg, 14 kr., 60 km/t, 24 elever, 15 cm². Kvantiteter kan opfattes som mentale konstruktioner, der er sammensat af en persons forestilling om et objekt, en kvalitet ved objektet, en passende enhed og en proces med at knytte en numerisk værdi til kvantiteten (typisk ved at tælle eller måle), jf. Smith og Thompson (2007). Det er med andre ord den samlede kvantitet og ikke kun det tal, som er forbundet med kvantiteten, der er på spil. Det er denne forståelse af kvantiteter, der hører til kategorien ´Aritmetik og kvantiteter´. For elever i 1.

klasse kan det for eksempel betyde, at de sammenligner egenskaber ved fysiske objekter (længde, areal, volumen, masse) og ud fra disse sammenligninger udleder udsagn som A<Y, hvor A og Y udtrykker

ubestemte kvantiteter (ikke de fysiske objekter). Eleverne kan derefter undersøge, hvordan de kan få A og Y til at blive lige store - de enten kan lægge noget til A eller trække noget fra Y. Uanset hvad de vælger at gøre, er det den samme mængde, de skal lægge til eller trække fra, og handlingen kan udtrykkes som A+Q=Y eller Y-Q=A, hvis Q betegner differensen mellem de to kvantiteter.

Kategorien ´Funktionelle sammenhænge som tilgang’ vedrører elevers arbejde med tal eller kvantiteter, der varierer sammen på en måde, som kan beskrives med en funktion. Det kan for eksempel handle om sammenhængen mellem figurnummer og antal trekanter i en figurfølge.

51 6.3. To typer af algebraisk tænkning i tidlig algebra

I de inkluderede tekster er undervisningsaktiviteter med algebraisk tænkning rettet mod forskellige formål og knyttet til forskellige typer af situationer. En stor del af aktiviteterne er rettet mod at generalisere matematiske sammenhænge og/eller egenskaber og knyttet til situationer, hvor det er elevernes opgave at identificere, symbolisere og/eller begrunde sådanne generelle sammenhænge, der ikke er beskrevet på forhånd (jf. række 1 i modellen). Når en aktivitet er rettet mod en eller flere af disse aspekter og samtidig giver eleverne mulighed for at arbejde analytisk med ubestemte talstørrelser, betegner jeg den som rettet mod algebraisk tænkning (jf. Radford, 2011, 2014).

Denne form for algebraiske tænkning kan være knyttet til elevers arbejde inden for kategorien ´Aritmetik og tal som tilgang’ (felt 1A) fx ved, at eleverne undersøger summer af ulige tal med henblik på at opdage, at denne sum er et lige tal. Efterfølgende kan eleverne generalisere deres opdagelse med brug af forskellige symboliseringer, for eksempel med verbalt sprog (´ulige plus ulige giver lige´), med konkrete materialer eller med algebraisk notation ((2𝑛𝑛+ 1) + (2𝑛𝑛+ 1) = 2(2𝑛𝑛+ 1)). Symboliseringen bringer på den måde den generelle sammenhæng eller egenskab, eleverne har identificeret, på en symbolsk form, der ikke er begrænset til konventionelle matematiske tegn, men som også kan inkludere fx konkrete materialer og verbalt sprog (Cobb, 2000). Generaliseringen kan danne udgangspunkt for, at eleverne begrunder deres påstand, fx med et generisk argument, der er støttet af en illustration som på figur 6.2 (Stephens et al., 2015).

Figur 6.2: Et generisk argument for, at summen af to ulige tal er et lige tal. (Tilpasset fra Stephens et al., 2015, s. 98)

Tænkningen kan også være knyttet til elevers arbejde inden for kategorien ´Aritmetik og kvantiteter som tilgang´ (felt 1B) fx ved, at eleverne sammenligner længden af tre forskellige fysiske objekter med henblik på at identificere generelle egenskaber ved relationerne mellem tre kvantiteter. En generalisering kan fx være, at hvis G er lig med X, og X er mindre end B, så medfører det, at G også er mindre end B (Dougherty,

2008). Eleverne kan på samme måde som i forbindelse med aritmetik og tal symbolisere og begrunde deres opdagelse.

Endelig kan tænkningen være knyttet til elevers arbejde inden for kategorien ´Funktionelle sammenhænge´

(felt 1C) fx ved, at elever undersøger sammenhængen mellem et antal ens borde, der sættes i forlængelse af hinanden, og det antal personer, som kan sidde ved dem med henblik på at opdage en general

sammenhæng (Martinez & Brizuela, 2006). Igen kan eleverne symbolisere og begrunde den opdagelse, de har gjort.

Den anden form for algebraisk tænkning (række 2 på figur 4.2) er rettet mod at anvende algebraiske repræsentationer som redskaber. Generelt kan repræsentationer opfattes som synlige eller håndgribelige produktioner, der står for eller giver fysisk form til matematiske sammenhænge eller egenskaber (Goldin, 2014). Nogle repræsentationer er knyttet til et repræsentationssystem, der er karakteriseret ved at følge bestemte regner, så betydningen af repræsentationerne i systemet er ensartet. Ifølge Goldin (2014) opfattes et algebraisk repræsentationssystem fx typisk som et repræsentationssystem, der indebærer fortolkning af bogstaver som variable, der kan antage numeriske værdier. Det involverer desuden

algebraiske udtryk, operationelle symboler og ligheds- og ulighedssymboler, konfigureret efter syntaktiske regler. De indholdsforslag, der er knyttet til række 2 på figur 4.2, sigter imidlertid ikke alene på anvendelse af det traditionelle, algebraiske repræsentationssystem. Samlet set sigter forslagene i denne kategori på anvendelsen af fire forskellige repræsentationssystemer: Aritmetisk-algebraisk notation (dvs. notation, der kan omfatte bogstaver som variable, men ikke nødvendigvis gør det), tabeller, grafer i koordinatsystem og verbalt sprog, jf. Stephens et al. (2017) og Carraher og Schliemann (2007).

Eleverne kan anvende repræsentationer i disse systemer til at løse problemer, modellere og ræsonnere. I den forstand behandler de dem som redskaber eller objekter, der bringes i anvendelse.

Repræsentationerne bringes typisk i anvendelse gennem en oversættelse fra en situation, hvori der er beskrevet relationer mellem kvantiteter, og hvori der indgår et eller flere ubestemte tal. Oversættelsen, dvs. repræsentationen behandles og resultatet af behandlingen tolkes i forhold til den oprindelige problemstilling. Denne form for algebraisk tænkning omfatter også tænkning, der er knyttet til enten oversættelse, behandling eller tolkning af de algebraiske repræsentationer.

Hvis anvendelsen af algebraiske repræsentationer er forbundet med ´Aritmetik og tal som tilgang´ kan den for eksempel handle om, at eleverne skal udfylde de manglende tal i en serie med åbne talsætninger med henblik på at forstå lighedstegnet som et udtryk for ækvivalente størrelser (Molina, Castro & Castro, 2009):

Figur 6.3. Opgaveeksempel. At ræsonnere med ukendte størrelser/aritmetik som tilgang. (s. 352)

Aktivitetstypen kan også være knyttet til elevers arbejde inden for kategorien ´Aritmetik og kvantiteter som tilgang’ for eksempel ved, at elever løser opgaver som den følgende fra Ng og Lee (2009), der i tekstform beskriver en relation mellem nogle kvantiteter. Hensigten med opgaven er, at eleverne oversætter

beskrivelsen af relationerne til andre matematiske repræsentationer (for eksempel til illustrationer eller til ligninger), der støtter deres løsning af opgaven, og tolker den matematiske løsning i forhold til den

oprindelige problemstilling.

Animal Problem: A cow weighs 150 kg more than a dog. A goat weighs 130 kg less than the cow.

Altogether, the three animals weighs 410 kg. What is the mass of the cow? (Ng & Lee, 2009, s. 286)

Endelig kan aktiviteten være knyttet til elevers arbejde inden for kategorien ´Funktionelle sammenhænge´, for eksempel ved, at eleverne løser opgaver, der tager udgangspunkt i en sammenligning mellem to funktionelle sammenhænge. Det følgende eksempel er fra Brizuela og Schliemann (2004):

Mike and Robin each have some money. Mike has $8 in his hand and the rest of his money is in his wallet. Robin has altogether exactly three times as much money as Mike has in his wallet. How much money could there be in Mikes´s wallet? Who has more money? (s. 35)

Hensigten er, at eleverne oversætter en tekstbeskrivelse af de to funktionelle sammenhænge til en ny repræsentation, fx til tabeller, regneudtryk og udtryk med variable. Den eller de nye repræsentationer anvendes til at belyse problemstillingen gennem anvendelse og tolkning.

I flere studier spiller de to former for algebraisk tænkning sammen på den måde, at undervisningen først retter sig mod, at eleverne identificerer, symboliserer og begrunder en sammenhæng eller egenskab, der

på forhånd er ukendt. Når denne sammenhæng er blevet kendt i klassen sigter den efterfølgende undervisningen på, at eleverne anvender den symbolisering, de er nået frem til, i forbindelse med nye problemstillinger. Hvis eleverne fx har generaliseret en funktionel sammenhæng og udtrykt den med en forskrift, kan de efterfølgende bruge forskriften til at besvare nye problemer.

Det skal bemærkes, at der i de to former for algebraisk tænkning er en skelnen mellem at repræsentere og at symbolisere. Både når eleverne repræsenterer, og når de symboliserer, anvender de udtryk eller

genstande, der står for noget andet, eller skal tolkes som noget andet, end dem selv. Jeg bruger imidlertid, i tråd med bl.a. Cobb (2000), ordet ’at repræsentere’ om at gen-præsentere en matematisk sammenhæng i en ny form, og ordet ’at symbolisere’ om at bringe en ikke tidligere præsenteret matematisk sammenhæng på symbolsk form. Med denne terminologi er der således fx tale om at repræsentere, når elever opstiller en tabel eller en ligning på baggrund en tekstopgave, der præsenterer en bestemt sammenhæng. Der er imidlertid tale om at symbolisere, når eleverne fx bruger et regneudtryk til at beskrive, hvordan de tænkt for at finde frem til et bestemt antal.

I de publikationer, der indgår i studiet, findes der flest forslag til aktiviteter, som kan knyttes til felt 1C og 2A. Der er færrest forslag, som kan knyttes til 1B. Se figur 6.4.

Figur 6.4. Kategorisering af 72 publikationer. Bemærk, at nogle publikationer er placeret i flere kategorier, fordi de beskriver forskellige tilgange.

6.4. En oversigt over brug af kontekster og syntaks i tidlig algebra

I forbindelse med spørgsmål 4) (Hvilken rolle spiller kontekster og matematisk syntaks i tidlig

algebraundervisning?) var min analyse inspireret af Carraher og Schliemann (2007) og byggede på modellen i figur 6.5.

Figur 6.5. To dimensioner som ligger bag tilgange til tidlig algebra.

(Tilpasset efter Carraher & Schliemann 2007, s. 677)

Figur 6.5 viser to dimensioner, der ligger bag tilgange til algebraundervisning. Den ene dimension (den vandrette akse) referer til, hvordan følgeslutninger bliver begrundet i undervisningen. I det ene ekstrem baserer følgeslutninger sig udelukkende på semantisk drevne argumenter, mens det i den andet ekstrem udelukkende baserer sig på syntaktisk drevne argumenter. Den vandrette akse beskriver med andre ord, i hvor høj grad følgeslutninger er styret af en problemstillings semantik eller af en repræsentations syntaks (Carraher & Schliemann, 2007). Den anden dimension (den lodrette akse) refererer til den situation eller det fænomen, som eleverne skal drage følgeslutninger om. I det ene ekstrem hører situationen eller fænomenet udelukkende til omverdenen. I det andet ekstrem hører situationen eller fænomenet

udelukkende til i en intern matematikverden. Den lodrette akse beskriver med andre ord, i hvor høj grad en problemstilling fokuserer på ren matematik eller på omverdenen.

Ifølge Carraher og Schliemann (2007) vil de to dimensioner i praksis ikke være helt uafhængige af hinanden.

Det er baggrunden for, at de to forfattere ikke har illustreret de to dimensioner med linjer, der skærer Styring

hinanden vinkelret. Figur 6.5 illustrerer, at et fokus på ren matematik i praksis ofte vil være tættere forbundet med syntaktisk styring end med semantisk styring. Omvendt vil et fokus på problemstillinger i omverdenen oftere være forbundet med semantisk styring.

Hver af de 72 tekster knyttede jeg til den eller de kvadranter fra figur 6.5, der bedst reflekterer den eller de forslåede tilgange til tidlig algebra. Resultatet blev en oversigt, der afspejler en fordeling af forskellige tilgange til tidlig algebra, som er repræsenteret i forskningslitteraturen. Jeg præsenterer denne oversigt i den følgende figur.

Figur 6.6. Kategorisering af 69 publikationer. Bemærk, at nogle publikationer er placeret i flere kategorier, fordi de beskriver forskellige tilgange.

59 Resultatet af kategoriseringen kan beskrives i fire fund.

For det første fandt jeg, at de tekster, der meningsfuldt kan kategoriseres i modellen, fordeler sig i alle fire kvadranter, dog med flest aktiviteter der hører til 2. og 3. kvadrant (Se figur 6.5). Der er altså en overvægt af indholdsforslag i tidlig algebra, hvor følgeslutninger baserer sig på semantisk drevne argumenter frem for syntaktisk drevne argumenter.

For andet fandt jeg, at de indholdsforslag, der hører til kategori 1B og 2B i figur 6.1 (se også figur 6.4) typisk er knyttet til 1. kvadrant på figur 6.5. Det tyder på, at indholdsforslag, der vedrører aritmetik og kvantiteter som tilgang skiller sig ud fra de øvrige tilgange ved at tage udgangspunkt i ekstra-matematiske kontekster, men samtidig sigte på syntaktisk drevne argumenter.

For det tredje fandt jeg, at langt de fleste forskere beskriver undervisningsforløb i tidlig algebra på en måde, der kan ses som bevægelser langs de to akser i diagrammet, og at forskellige publikationer af den samme forsker kan plottes forskellige steder i diagrammet. Kun få forskere fokuserer ensidigt på tidlig algebraundervisning, der hører til i én kvadrant. Generelt hører tidlig algebraundervisning til i hele

diagrammet, ofte i bevægelser fra omverden mod ´matematikverden´ og fra semantisk drevne argumenter mod syntaktisk drevne argumenter. Forskellen mellem de forskellige forskeres syn på tidlig

algebraundervisning kan snarere ses på, hvor langt de anbefaler, at undervisningen ´kører ud af akserne´.

Nogle forskere gør det for eksempel til et særligt fokuspunkt, at eleverne kommer til at kunne bygge matematiske argumenter på algebraisk symbolsprog, mens andre forskere i højere grad fokuserer på, at eleverne får mulighed for at udtrykke og arbejde med generaliseringer gennem forskellige typer af

symboliseringer og/eller repræsentationer, hvoraf egentlig algebraisk notation er en mulighed blandt flere.

For det fjerde fandt jeg, at de ekstra-matematiske kontekster, som findes i de inkluderede tekster, oftest har karakter af det, Ole Skovsmose (2003) har kaldt ´semi-virkelighed´. Eksempel: ´Et tog kører den samme rute hver dag. Når det kører, samler det to togvogne op ved hvert stop. Hvor mange togvogne har det efter…´ (Blanton et. al., 2015, s. 557, min oversættelse). Jeg har ikke fundet eksempler på den type

kontekster, som Ole Skovsmose kalder ´reelle referencer´, dvs. kontekster, der vedrører en reel omverden.

7. 6-12-åriges potentiale for algebraisk tænkning ift. funktionelle sammenhænge

I dette kapitel syntetiserer jeg de inkluderede studiers forskning om 6-12-åriges potentiale for algebraisk tænkning med funktionelle sammenhænge som tilgang.

Jeg indleder i afsnit 7.1 med en redegørelse for de forskellige perspektiver på funktionelle sammenhænge, der anlægges i studierne. I resten af kapitlet anvender jeg modellen fra figur 6.4 som en pragmatisk ramme for fremstillingen. Den største del af forskningen kan knyttes til modellens felt 1C, dvs. til generalisering af funktionelle sammenhænge, der på forhånd er ukendte for eleverne. Denne del behandles i afsnit 7.2-7.6.

Mere præcist fokuserer afsnit 7.2 og 7.3 på forskning vedrørende elevers identifikation af funktionelle sammenhænge, afsnit 7.4 på forskning vedrørende begrundelser for funktionelle sammenhænge og afsnit 7.5-7.6 på forskning vedrørende symboliseringer og repræsentationer i arbejdet. En mindre del af

forskningen kan knyttes til modellens felt 2C, dvs. til elevers arbejde med at anvende algebraiske repræsentationer som redskaber. Afsnit 7.7 fokuserer på denne del af forskningen.

7.1. Perspektiver på funktionelle sammenhænge i studierne

I studierne kan der adskilles tre forskellige perspektiver på funktionelle sammenhænge: Et rekursivt perspektiv, et samvariationsperspektiv og et korrespondanceperspektiv. I det rekursive perspektiv betragtes funktionsværdier som en følge af tal. Elevernes opmærksomhed rettes mod, hvordan man kan bestemme det tal, der følger efter et vilkårligt tal i følgen (Carraher & Schliemann, 2007).

I samvariationsperspektivet fokuseres på den måde en uafhængig og en afhængige variabel varierer sammen på. Elevernes opmærksomhed rettes mod, hvordan forandringer i den ene variabel hænger sammen med forandringer i den anden variabel (Smith, 2008).

I korrespondanceperspektivet fokuseres på formuleringen af en regel, der beskriver sammenhængen mellem den uafhængige og den afhængige variabel. I modsætning til de to førstnævnte perspektiver formuleres denne regel i korrespondanceperspektivet på lukket form (Stephens et al., 2017), dvs. som et udtryk, der med et endeligt antal standardoperationer kan bruges til at bestemme den afhængige variabel på grundlag af den uafhængige variabel. Elevernes opmærksomhed rettes derfor mod sammenhængen mellem de to variable.

Figur 7.1 illustrerer forskellene mellem de tre perspektiver gennem eksempler på elevudsagn, der er knyttet til tallene i den samme funktionstabel.

Figur 7.1. Tre forskellige perspektiver på den samme funktion.

Set i forhold til de andre perspektiver har korrespondanceperspektivet, ifølge Stephens et al. (2017), den fordel, at formuleringen af en korrespondanceregel gør det muligt at bestemme en specifik funktionsværdi uden at have kendskab til andre funktionsværdier. Samvariationsperspektivet, der oprindelig blev foreslået

In document Danish University Colleges Tidlig algebra i grundskolens matematikundervisning Kaas, Thomas (Sider 51-82)