Frit fald i tyngdefeltet - Hvad er matematik?

Kapitel 3. Integralregning 2

3.7 Frit fald i tyngdefeltet

Hvad er matematik? Studieretningskapitlerne, kapitel 11 Matematik og Fysik

20 c) Beregn den frigivne potentielle energi.

Supernovaens energi udsendes i løbet af nogle måneder.

d) Beregn, hvor meget energi Solen udsender på et år.

e) Giv et overslag af hvor mange stjerner af Solens type, der skal til for i løbet af et år at udsende den samme energi som en supernova. Sammen-lign med, at man regner med, at vores galakse

Mælkevejen består af ca. 200 mia. stjerner. Keplers supernova opdaget 1604

Opgave 18 Den nydannede Jord antages at have været så varm, at den i mange millioner år var fly-dende.

a) Beregn, hvor meget potentiel energi der blev frigivet, da Jorden blev dannet.

Halvdelen af den potentielle energi udsendes som varmestråling, mens resten går til op-varmning af Jorden. Antag at ca. en tredjedel af Jorden er jern, mens resten består af klippe (granit eller basalt).

b) Vil det være nok til at opvarme Jorden til smeltepunktet?

3.7 Frit fald i tyngdefeltet

Jorden befinder sig i Solens tyngdefelt, så hvorfor falder vi ikke ind i Solen? Spørgsmålet er nærliggende, for ser vi på stort set hvad som helst i vores omgivelser, falder de jo ind mod Jorden i det øjeblik, der ikke er noget til at holde dem på plads. Fx vil en bold i vores hånd falde i samme øjeblik, vi giver slip på den.

Jorden reddes af, at den samtidig har en hastighed i sin bane, for selvfølgelig falder den. Faldet bliver bare til en ellipse rundt om Solen.

Men hvad ville der ske, hvis vi nu var i et rumskib i samme afstand som Jorden, men så pludselig bremsede op. Med hvilken fart ville rumskibet falde ind mod Solen, og hvor lang tid ville det tage?

Vi har vores rumskib med masse mi afstanden r_o fra Solen. Solens masse er M. Al bevægelse foregår langs en akse fra Solens centrum og ud til rumskibet. Afstand, hastighed og acceleration regnes positivt i retningen væk fra Solen. Rumskibets starthastighed er nul, og vi vil se på faldet indtil afstanden r, hvor hastigheden vil være v.

Rumskibets acceleration er givet ved 1 2

2 dv dv dr dv d

a v v

dt dr dt dr dr

 

= = = =  

 .

Rumskibet påvirkes kun af tyngdekraften, der altså er den resulterende kraft. Vi har så (gør selv omhyggeligt rede for hvert trin i omskrivningen):

Hvad er matematik? 3, e-bog

ISBN 9788770668781

Hvad er matematik? Studieretningskapitlerne, kapitel 11 Matematik og Fysik

Opgave 19 Omskriv ovenstående ligning og argumenter for, at vi bare har vist, at den mekaniske energi er bevaret.

v isoleres i ligningen ovenfor og vi får (idet vi husker, at v er negativ, når rumskibet bevæger sig mod Solen):

o Opgave 20 Vis ovenstående formel.

Opgave 21 En af cheferne hos Google, Alan Eustace, slog i 2014 rekorden for det højeste udspring med et spring fra 41000 meter. Med hvilken fart ville han ramme jorden, hvis man ser helt bort fra

Hvad er matematik? 3, e-bog

ISBN 9788770668781

Hvad er matematik? Studieretningskapitlerne, kapitel 11 Matematik og Fysik

22 (I HEM 3, kapitel 3A, afsnit 3.5 er der en detaljeret gennemgang af det spring Felix Baum-gartner foretog i 2012. I gennemgangen inddrages luftmodstand, atmosfæriske forhold, ændring i tyngdekraft som funktion af højden mv)

Ovenstående udtryk for hastigheden er en differentialligning, som vi kan løse ved separation af de variable.

(Teknikken og teorien bag denne metode er gennemgået i HEM 3, kapitel 3B, afsnit 3):

Integration på begge sider giver nu:

Integralet på højre side er langt fra simpelt. Det kan findes vha. et CAS-værktøj, og da det giver et eksakt funktionsudtryk, findes der også en metode ti at beregne det i hånden: Metoden bygger på kendskab til de afledede funktioner af de trigonometriske arcus-funktioner (de omvendte funktioner til cos, sin og tan). (Du kan finde et projekt om dette i HEM 3, kapitel 7).

Til tiden t=0skal afstanden være lig r_o, hvilket giver os:

Faldtiden kan nu skrives som:

o 1 o o P67/Tjurjumov-Gerasimenko. Fartøjet kredsede om kometen i et par måneder, og d. 12.

november frigjordes det mindre fartøj Philae, som efterfølgende landede på kometen.

P67/Tjurjumov-Gerasimenkos masse er estimeret til 1.0∙10¹³ kg og, som det kan ses på bil-ledet, er overfladen meget ujævn. Dens udstrækning er omtrent 4 km x 3,5 km x 3,5 km.

Philae blev frigjort i ca. 41 km højde over kometen.

Hvad er matematik? 3, e-bog

ISBN 9788770668781

Hvad er matematik? Studieretningskapitlerne, kapitel 11 Matematik og Fysik

23 a) Vurdér, med hvilken hastighed Philae rammer kometens overflade, hvis vi

anta-ger, at rumsonden falder frit.

Philae var bygget, så den kunne absorbere det meste af stødet. Den havde desuden to har-puner, der ved landingen skulle skydes ned i overfladen for at forhindre, at sonden prellede af på kometen. Af en eller anden grund virkede harpunerne ikke, og Philae lavede to hop, inden den til sidst stod fast på kometen. Det første hop varede 1 time og 50 minutter, og bragte sonden op i en højde af ca. 1 km. Det andet hop varede kun 7 min.

b) Undersøg, om oplysningerne om det første hop stemmer overens med teorien.

c) Hvis tiden for hoppet er den mest pålidelige, hvad er så den rigtige højde for det første hop?

d) Hvor højt hoppede rumsonden anden gang?

Kometen P67/Tjurjumov-Gerasimenko og Rosetta satellit-ten. Foto: www.nasa.gov.

Opgave 23 a) Hvor lang tid tager det for supertankerne i øvelse 3.2 at bevæge sig, så de mødes.

b) Antag at Romeo står under Julies balkon, som befinder sig 3,5 m over ham. Hvor lang tid vil det tage de to at finde hinanden, hvis tyngdekraften alene skal klare problemet?

Hvad er matematik? 3, e-bog

ISBN 9788770668781

Hvad er matematik? Studieretningskapitlerne, kapitel 11 Matematik og Fysik

In document Hvad er matematik? (Sider 20-24)