II. Forskning i tidlig algebra
14. Forsøgsundervisning som kilde til data
I dette kapitel beskriver jeg deltagerne i forsøgsundervisningen, organiseringen af den og samarbejdet omkring den. Jeg afslutter kapitlet med en opsummering af mine kilder til data fra forsøgsundervisningen.
14.1. Deltagerne i forsøgsundervisningen
Forsøgsundervisningen blev gennemført på Munkekærskolen i Solrød, der på flere måder er en typisk dansk folkeskole. Skolens nøgletal for karaktergennemsnit, trivsel og elevfravær lå således i forsøgsperioden ganske tæt på gennemsnitstallene for danske folkeskoler. Desuden karakteriseres skolens
karaktergennemsnit af Børne- og Undervisningsministeriet som forventet i forhold til skolens socioøkonomiske profil (Børne- og Undervisningsministeriet, 2020).
Eleverne, der deltog i forsøget, var 8-9 år gamle ved forsøgsperiodens begyndelse og gik sammen i en 2.
klasse. Ved forsøgets afslutning var de 9-10 år og gik i slutningen af 3. klasse. Klassen bestod i begyndelsen af forsøgsperioden af 25 elever. I forsøgsperioden blev klassen udvidet med to elever, så der i slutningen af forløbet var i alt 27.
Undervisning og elevinterviews i forsøget blevet gennemført af Heidi Kristiansen. Hun havde været matematiklærer for klassen siden begyndelsen af 2. klasse og havde undervist eleverne i cirka 8 måneder, før forsøgsundervisningens begyndelse. Heidi Kristiansen er både uddannet folkeskolelærer og cand. pæd. i matematikdidaktik. Da forsøgsundervisningen fandt sted, havde hun undervist i mere end 10 år i
grundskolen og ca. 10 år på læreruddannelsen. Hendes ansættelse på Munkekærskolen fandt sted i en 2-årig orlovsperiode fra hendes ansættelse på læreruddannelsen. Før forsøgsundervisningen havde Heidi og jeg allerede samarbejdet i mere end 10 år om undervisning på læreruddannelsen og i diverse
forskningsprojekter rettet mod grundskolen. Vi havde desuden igennem en årrække samarbejdet om udviklingen af læremidler til matematikundervisning i folkeskolen.
Heidi var således ikke en almindelig matematiklærer i folkeskolen, og vores samarbejde var ikke begrænset til forsøgsundervisningen. Jeg etablerede tværtimod samarbejdet med hende, fordi hun i mine øjne udgør en ekspertunderviser, og fordi vi, allerede før begyndelsen af vores samarbejde om forsøgsundervisningen, havde en ensartet forståelse af, hvad der kan betragtes som hensigtsmæssige sociale normer og
interaktionsformer i matematikklasserum.
131
Jeg deltog selv i de enkelte undervisningsmoduler og interviews som observatør, og samtidig stod jeg for videooptagelser i klassen. For at eleverne i klassen kunne lære mig at kende og vænne sig til min
tilstedeværelse, stod jeg for historiefortælling i klassen i de sidste 5 minutter af hvert undervisningsmodul, mens Heidi fx indsamlede elevprodukter.
14.2. Organisering af forsøgsundervisningen
Forløb og interviews
Selve forsøgsundervisningen bestod af tre forløb. I tilknytning til disse forløb gennemførte Heidi og jeg fire runder med elev-interviews, et før-interview og tre efter-interviews. Figur 14.1 giver et tidsmæssigt overblik over afviklingen af forløb og interviews.
April-maj, 2018 November-december, 2018 Maj-juni, 2019
Figur 14.1. Tidsmæssigt overblik over aktiviteter i forsøgsundervisningen.
Samlet set strakte forsøgsperioden sig over ca. 15 måneder. Hvert af de tre forløb i perioden bestod af cirka 4 ugers matematikundervisning, dvs. af 16 lektioner, der var organiseret i 8 moduler på hver 90 minutter.
Organisering af elevinterviews
Hver af de fire interviewrunder blev gennemført med fem udvalgte elever fra forsøgsklassen, bortset fra runden efter 2. forløb, hvor der kun deltog 4 elever. Hensigten med før-interviewene var at indhente information om og at dokumentere klassens matematikfaglige udgangspunkt i relation til de faglige begreber og metoder, vi havde planlagt at fokusere på. Før-interviewene skulle på den måde dels bidrage til at identificere aspekter af elevernes faglige viden og kunnen, som vi kunne bygge på i undervisningen, dels udgøre et referencepunkt i forhold til hvilket, klassens faglige udvikling kunne vurderes. Hensigten med de tre runder med efter-interviews var at indhente information om og at dokumentere individuelle elevers
Før-interviews 1.forløb 2. forløb 3.forløb
Efter-interviews Efter-interviews Efter-interviews
132
øjeblikkelige matematikfaglige kunnen i relation til de faglige begreber og metoder, som forsøgsundervisningen havde fokuseret på.
Eleverne i hver interviewrunde var udvalgt sådan, at de, efter Heidis vurdering, udspandt klasserummet fagligt set. Konkret bad jeg Heidi forestille sig elevgruppen opdelt i fem cirka lige store kategorier efter faglig viden og kunnen og udvælge én elev fra hver gruppe, som ville have det okay med at blive
interviewet og med at fortælle om sin faglige tænkning. I tre af runderne var det de samme fem elever, der deltog, men i runden efter det andet forløb udskiftede vi tre af eleverne. En af grundene til, at vi foretog denne udskiftning, var for at få et lidt bredere indblik i den samlede elevgruppes forskellige former for tænkning. Selv om de fem udvalgte elever repræsenterede klassen fagligt set, er det ikke sikkert, at de repræsenterede de forskellige former for algebraisk tænkning, der fandtes blandt eleverne i klassen. En anden grund var, at vi blev usikre på, om et par af de udvalgte elever stadig befandt sig i den faglige kategori, som Heidi i begyndelsen af forløbet havde vurderet dem til. Begge disse elever havde gjort store faglige fremskridt, men vores intention var ikke alene at følge de fem elevers faglige udvikling. Det var også at følge den samlede klasses faglige udvikling. I det afsluttende interview gik vi dog tilbage til den
oprindelige gruppe for at have mulighed for at sammenholde deres faglighed før og efter forsøgsundervisningen.
Ved hvert interview arbejdede en elev med en opgave i ca. 20 minutter. Heidi introducerede opgaven, støttede elevens arbejde med den og spurgte til hans eller hendes tænkning ud fra en interviewguide (se bilag A). Min rolle var at observere, tage noter og videofilme.
Organisering af undervisningsmodulerne
Hvert af de 90-minutter lange undervisningsmoduler havde typisk følgende struktur:
a) Introduktion til dagens arbejde.
b) Iscenesættelse af dagens problemstilling.
c) Elevernes selvstændige arbejde.
d) Fælles samtale i klassen.
I den indledende introduktion (a) opsummerede Heidi typisk pointer fra det forrige undervisningsmodul og præsenterede fokus for dagens arbejde. Desuden præsenterede hun det overordnede indhold i dagens aktiviteter og rækkefølgen i dem. Hensigten var dels at skabe et fælles fokus for dagens arbejde, dels at skabe sammenhæng i klassens fælles udvikling af matematisk viden og kunnen.
133
I hvert modul arbejdede eleverne typisk med én problemstilling. Iscenesættelsen af denne (b) foregik typisk gennem en fortælling, som skulle give eleverne mulighed for at sætte sig ind i problemstillingen, og en fælles samtale, som skulle give eleverne ideer til, hvordan de kunne gribe problemstillingen an og afklare evt. usikkerheder.
I det selvstændige arbejde (c) arbejdede eleverne i små grupper om problemstillingen. Heidi støttede og udfordrede elevernes arbejde og udvalgte igennem sine observationer, hvilke tilgange hun ville søge at inddrage i den efterfølgende samtale. Vores intention var at bygge denne samtale på de forskelligartede, faglige ideer, som kom til udtryk i elevernes selvstændige arbejde, og som, med Heidis guiden, havde potentialet til at udvikle sig til faglige pointer, der kunne bidrage i retning af det hypotetiske læringsspor, vi baserede undervisningen på (se kap. 15). Ofte lagde vi en kort pause ind i modulet efter fase c) for at have mulighed for kort at diskutere, hvilke af elevernes faglige ideer, der med fordel kunne inddrages i den fælles samtale.
I den afsluttende fase d) diskuterede klassen i fællesskab deres arbejde i fase c), og Heidi samlede op på de indsigter, som arbejdet og samtalen havde ført med sig. Samtalen gav eleverne mulighed for at dele deres tænkning fra fasen med det selvstændige arbejde, men først og fremmest fokuserede den på udvalgte måder at tænke på, som var i tråd med det hypotetiske læringsspor.
Eleverne sad i grupper med typisk 4 i hver. I 1. forløb sad eleverne ved disse gruppeborde i alle faser af undervisningen, men i 2. og 3. forløb valgte vi at ændre organisationen, så eleverne samledes på stole, der var placeret i en halvcirkel foran læren og tavlen, i de faser af undervisningen, som foregik fælles (a), b) og d)). I deres selvstændige arbejde sad de ved gruppebordene. Hensigten med denne justering var at give eleverne gode muligheder for både at se hinanden, Heidi og klassens tavle og dermed fokusere på at lytte og bidrage til de fælles klassesamtaler med forklaringer, begrundelser og diskussion.
14.3. Organisering af samarbejdet omkring forsøgsundervisningen
Heidi og jeg arbejdede sammen om
• planlægning af hvert forløb,
• løbende justeringer i undervisningsplanerne, og
• planlægningen af før- og efter-interviews.
134
Konkret afholdt vi før hvert forløb to ca. 2-timers planlægningsmøder. Før det første af disse møder havde jeg udarbejdet forslag til delmål for undervisningen i tråd med det hypotetiske læringsspor (se kap. 15), til konkrete aktiviteter og til måder at understøtte elevernes læring på. På mødet diskuterede vi mit oplæg i forhold til den konkrete klasse. Denne diskussion førte til justeringer, som vi igen diskuterede og
præciserede på det andet møde. Den detaljerede tilrettelæggelse af hvert undervisningsmodul stod Heidi for.
Desuden afholdt vi efter hvert undervisningsmodul et ca. 2-timers refleksions- og tilrettelæggelsesmøde.
Disse møder fokuserede på vores hypoteser om elevernes læreprocesser og vores ideer til, hvordan vi løbende kunne understøtte læreprocesserne i de planlagte retninger. På møderne aftalte vi løbende mindre justeringer i undervisningsplanen og talte om den konkrete tilrettelæggelse af det følgende modul.
Refleksions- og planlægningsmøderne blev så vidt muligt afholdt umiddelbart efter hvert undervisningsmodul. I nogle tilfælde måtte vi dog afholde mødet senere samme dag.
Før hver interviewrunde gennemgik vi den interviewguide, som jeg havde udarbejdet. Vi talte om den overordnede intention med interviewene, om intentionen med hvert spørgsmål og om, hvordan Heidi kunne agere, hvis interviewet tog forskellige retninger.
Opdelingen i tre forløb betød, at klassen havde anden matematikundervisning ind imellem
forsøgsundervisningen. I denne undervisning arbejdede eleverne ikke direkte med algebra, men de arbejdede bl.a. med regnestrategier og med repræsentationer, som forsøgsundervisningen kunne trække på. Fx blev eleverne igennem de tre perioder gradvist bedre til multiplikation. Det betød for
forsøgsundervisningen, at flere aspekter af multiplikationsbegrebet kunne betragtes som antaget fælles og derfor indgå som grundlag i algebraundervisningen. Et andet eksempel er, at eleverne i forbindelse med statistik gradvist blev mere og mere vant til at bruge funktionstabeller som redskaber. Det betød for forsøgsundervisningen, at det med at fremstille og anvende tabeller formentlig var hjulpet af den anden undervisning. Et tredje eksempel er, at eleverne i forbindelse med regnestrategier arbejdede med lighedstegnets betydning. Det betød for forsøgsundervisningen, at elevernes forståelse af ligninger formentlig var hjulpet af anden undervisning. I opstartsmøderne til hvert undervisningsforløb i forsøget informerede Heidi om elevernes arbejde i den mellemliggende periode, sådan at hendes vurdering af elevernes faglige progression kunne tænkes ind i planlægningen og tilrettelæggelsen af
forsøgsundervisningen.
135 14.4. Overblik over datakilder
De data, jeg genererede i løbet af forsøgsundervisningen, inkluderer:
a) videooptagelser fra de tre undervisningsforløb, i alt 24 moduler á 90 minutters varighed b) mine observationsnoter fra hver af de 24 moduler i forløbene
c) videooptagelser af og noter fra interview med 4-5 udvalgte elever før det første forløb og efter hvert af de tre forløb, i alt 3 · 5 + 1∙4 sessioner á 20-30 minutters varighed
d) kopier af alle elevers skriftlige arbejder i de 24 moduler og fra interviewene e) skærmbilleder af elektroniske tavler, som lærer og elever har skrevet i forløbene f) noter fra mine og Heidis refleksioner efter hvert modul
g) noter fra aftaler efter hvert møde
h) noter fra Heidis detaljerede tilrettelæggelse af hvert modul.
Vedrørende a) og b)
I klassen organiserede vi min tilstedeværelse som deltagende observatør sådan, at jeg havde en fast plads på en stol (uden bord) i klassen. Ud over at observere tog jeg noter på computer og foretog
videooptagelser. Disse optagelser vekslede mellem to forskellige opstillinger. I den ene opstilling var kameraet rettet mod klassen som helhed. Denne opstilling brugte jeg i de dele af undervisningen, som foregik fælles i klassen. I den anden opstilling var kameraet rettet mod en udvalgt gruppe på fire elever, der sad ved to sammensatte borde. Denne opstilling brugte jeg i de dele af undervisningen, som foregik i elevgrupper. Eleverne i gruppen var udvalgt af Heidi, sådan at de, samlet set, repræsenterede forskellige faglige niveauer i klassen og sådan, at de, efter Heidis vurdering, samtidig ville have fagligt og socialt udbytte af at arbejde sammen.
Eleverne i den udvalgte gruppe vekslede for hver periode med forsøgsundervisning. Jeg foretog dette valg, fordi projektet ikke primært var rettet mod at følge enkeltelevers faglige udvikling, men den faglige udvikling i det fællesskab, som klasserummet udgjorde. Mange af eleverne i klassen var ivrige efter at komme i fokus og blive filmet, og det var mit indtryk, at de elever, der fik den særlige opmærksomhed ved at blive filmet, kom til at føle sig ekstra engageret i projektet. De spurgte fx oftere end de andre elever, til dagens program og var meget aktive i klassens fælles samtaler. Jeg så ingen muligheder for helt at fjerne den effekt, som den særlige opmærksomhed så ud til at have på elevernes deltagelse, men kunne fordele den mere jævnt ved at veksle mellem de elever, der kom i fokus gennem optagelserne.
136 Vedrørende f), g) og h)
Heidi og jeg begyndte hvert planlægnings- og refleksionsmøde med at reflektere hver for sig i 15-20 minutter. I den forbindelse tog vi noter, som dels dannede udgangspunkt for en drøftelse, dels
dokumenterede de didaktiske refleksioner, som dagens undervisningsmodul gav anledning til. Det er disse noter, der er nævnt i punkt f). Drøftelsen førte i flere tilfælde til mindre justeringer af undervisningsplanen, og den førte til en række aftaler om tilrettelæggelsen af de kommende moduler. Vi tog noter til disse aftaler. Disse noter udgør punkt g). På baggrund af noterne foretog Heidi efter mødet den detaljerede tilrettelæggelse af det følgende modul. I den forbindelse tog hun også noter. Disse noter udgør punkt h).
137