V. Analyse af forsøgsklassens læringsspor
18. Forsøgsklassens sociale og sociomatematiske normer
I dette kapitel karakteriserer og dokumenterer jeg forsøgsklassens sociale og sociomatematiske normer.
Hensigten med kapitlet er at give læseren baggrund for min redegørelse i det efterfølgende kapitel om de matematiske praksisser, der opstod i forsøgsklassen gennem undervisningen.
Jeg karakteriserer og dokumenterer først forsøgsklassens sociale normer i iscenesættelser af
undervisningsaktiviteter, derefter i elevernes selvstændige arbejde og til sidst i forbindelse med de fælles klassesamtaler, som typisk afsluttede hvert undervisningsmodul. Efterfølgende fokuserer jeg på klassens sociomatematiske normer.
Jeg bygger karakteristikken på alle de episoder, jeg har kategoriseret under sociale og sociomatematiske normer, men jeg dokumenterer normerne med klip fra få episoder, der primært knytter sig til den samme aktivitet i begyndelsen af forsøgsundervisningen. Mere præcist drejer det sig om iscenesættelsen, det selvstændige elevarbejde og klassesamtalen, der fandt sted i tilknytning til aktiviteten ’Rektangler med sidelængden 4’ (se også afsnit 15.3). Jeg betragter de normer, klippene eksemplificerer, som
gennemgående i forsøgsundervisningen. Der opstod således ikke nye sociale og sociomatematiske normer undervejs i de tre perioder.
18.1. Sociale normer i iscenesættelser
Heidi indledte typisk iscenesættelsen af nye undervisningsaktiviteter med en mundtlig og visuel beskrivelse af en situation, et objekt eller et fænomen, der udmøntede sig i en problemstilling. I mange tilfælde var der tale om et fænomen eller en situation fra omverdenen, fx om priser, lommepenge, alder eller flaskepant, men i andre tilfælde var der tale om et rent matematisk objekt eller fænomen, fx om antalsbestemmelse, omkreds, måling eller areal.
I sin beskrivelse inddrog Heidi løbende eleverne ved at stille spørgsmål, der både kunne vedrøre selve beskrivelsen eller matematiske begreber, der var relevante for problemstillingen. Typisk udviklede disse iscenesættelser sig til klassesamtaler, hvor eleverne bidrog med svar på Heidis spørgsmål og med at stille nye spørgsmål eller fortælle om deres erfaringer med det, iscenesættelsen vedrørte.
I den allerførste problemstilling, forsøgsklassen arbejdede med, indledte Heidi fx med at tale om firkanter.
Hun tegnede et rektangel bestående af 4 x 2 kvadratiske tern på tavlen og fortalte eleverne, at de skulle arbejde med en særlig slags firkanter. De skulle ’være 4 på den ene side’. En af eleverne spurgte, om det
165
ikke var et rektangel, Heidi havde tegnet. Dette spørgsmål afstedkom en længere samtale om forskellen på rektangler og andre firkanter. Igennem samtalen gjorde Heidi det klart, at det var rektangler med
sidelængden 4, eleverne skulle tegne.
Derefter gjorde Heidi opmærksom på den ene af de korteste sider i det rektangel, hun havde tegnet. ’Så skal vi lige finde ud af, hvad vi skal kalde den anden side’, sagde hun. ’Kan vi kalde den en højde?’. Flere af eleverne svarede ja til det spørgsmål.
I sidste del af iscenesættelsen præsenterede Heidi selve problemstillingen: Eleverne skulle tegne rektangler med forskellige højder og finde ud af, hvor mange tern der var i hver firkant. Et par af eleverne stillede spørgsmål som: ’Hvor skal vi skrive det henne’?
Sammenfattende kan man sige, at det var en social norm i forsøgsklassen, at aktiviteter blev igangsat gennem samtaler. I disse samtaler var det Heidis forpligtelse at sætte scenen ved at bringe en situation, et objekt eller fænomen på banen og introducere en problemstilling. Det var elevernes opgave at forsøge at sætte sig ind i Heidis beskrivelse, kommentere og stille spørgsmål, som kunne bringe klassen frem mod en fælles forståelse af det, der skulle foregå. I mange episoder (men ikke i eksemplet) bidrog eleverne desuden med at komme med forslag til fremgangsmåder i problemstillinger og med formodninger om løsninger på problemstillinger.
En sådan norm står fx i modsætning til en norm i klasserum, hvor aktiviteter bliver igangsat, ved at elever på egen hånd læser opgaver, og læreren hjælper, hvis en eller flere elever er i tvivl. Her er ansvaret for igangsættelsen i højere grad overladt til den enkelte elev, og læreren har i mindre grad mulighed for at vurdere elevers forståelser af de aktuelle problemstillinger.
18.2. Sociale normer i elevernes selvstændige arbejde
Det blev forventet af Heidi, at eleverne i deres selvstændige arbejde samarbejdede i makkerpar eller i de grupper, de sad i. Nogle elever deltog i samarbejdet ved at lægge op til fælles refleksioner, fx ved at ’tænke højt’ om deres ideer til fremgangsmåder, eller ved at spørge til makkerens tanker eller ideer. Andre elever deltog i samarbejdet ved i højere grad at give eller efterspørge anvisninger på metoder, fx ved at sige ’Vi kan gøre sådan her…’ eller ’Hvordan skal vi gøre?’.
I disse perioder af undervisningen gik Heidi rundt mellem makkerparrene i klassen. Hun henvendte sig til elever, som markerede, men når ingen markerede, henvendte hun sig på skift til makkerparrene, fx med spørgsmål som: ’Hvordan går det her hos jer?’ eller ’Vil I vise mig, hvad I har gjort indtil nu?’
166
De informationer, hun fik igennem spørgsmål som disse, brugte hun typisk på tre forskellige måder. For det første brugte hun dem til at støtte og udfordre de enkelte elever. For det andet brugte hun dem til at udvælge, hvilke elever hun ville sørge for at inddrage i den efterfølgende klassesamtale, fordi de havde en faglig tilgang, som - på forskellige måder - ville kunne bringe klassens faglige dialog i retning af det
tilsigtede. For det tredje brugte hun informationerne til løbende at tilpasse elevernes arbejde.
Her er et eksempel på den sidstnævnte måde, Heidi brugte informationerne på: Hun opdagede, at nogle elever i klassen begyndte at finde ’genveje’ til at bestemme antallet af ’små tern’ i hvert rektangel. Der var makkerpar, som skiptalte (4, 8, 12,…), nogle, der addererede (fx 10+10+10+10), nogle der multiplicerede (fx 4 · 10), men der var også makkerpar, som talte sig frem. Det var et mål med aktiviteten, at eleverne
(efterhånden) opdagede og begrundede sammenhængen mellem ’den frie sidelængde’ og antallet af ’små tern’.
Midtvejs i elevernes arbejde stoppede Heidi eleverne med følgende besked:
’Jeg har lige et spørgsmål, som I gerne må tænke på, mens I sidder og tegner firkanter, for det kommer jeg til at spørge jer om om lidt, når vi skal snakke om det. Det er: Har I nogle smarte måder at finde ud af, hvor mange firkanter der er inde i de rektangler, I tegner? I får lige lidt mere tid. Så kommer jeg til at spørge jer igen: Hvordan fandt I ud af, hvor mange små tern, der er inde i de firkanter, I har tegnet?’
Eksemplet peger på et karakteristisk træk ved deltagelsesstrukturen i de perioder, hvor eleverne arbejdede selvstændigt, altså på en social norm. Eleverne havde til opgave at samarbejde om de aktiviteter, der var lagt op til. De havde imidlertid også til opgave løbende at dele deres tanker og strategier med læreren.
Heidis opgave var at udnytte disse informationer til at kvalificere klassens arbejde og til at kvalificere den efterfølgende klassesamtale. Det var med andre ord en social norm i klassen, at eleverne delte deres faglige ideer og strategier i aktiviteter med læreren, og at disse ideer og strategier til gengæld spillede en betydelig rolle for de retninger, undervisningen tog.
18.3. Sociale normer i klassesamtaler
I de fælles klassesamtaler overholdt eleverne i klassen generelt tre forskellige forpligtelser:
167
1) De lyttede til hinandens bidrag og angav enighed eller uenighed.
2) De forklarede og begrundede deres tænkning.
3) De præsenterede ofte flere forskellige fremgangsmåder.
I den afsluttende samtale om ’Firkanter med sidelængden 4’ viste disse tre aspekter af elevernes
deltagelsesmåder sig fx i en episode, hvor eleven Mia fortalte, at hun havde tegnet en firkant, som var 5 ’på den ene side’ og 4 ’på den anden side’. Hun mente, at der var 21 små firkanter indeni, og Heidi skrev hendes resultat i tabellen på tavlen. Flere elever rakte hånden op, og nogle af eleverne udbrød ’nej’.
Derefter fandt følgende samtale sted:
Heidi: Hvor mange er der så, Kalle?
Kalle: 20.
Heidi: Hvordan fandt du ud af det?
Kalle: Jeg har selv lavet den samme.
Heidi: Du har selv lavet den, og hvordan fandt du ud af, at der var 20 i din?
Kalle: Jeg sagde 10 plus 10.
Heidi: Du sagde 10 plus 10?
Kan du forklare hvor oppe på tegningen, der er 10 plus 10?
Prøv lige at gå op, og vis det.
Kalle: (rejser sig og går op til tavlen.
Han peger på rektanglet, som læreren har tegnet) Der er 5 her (peger på en kolonne med 5).
Og så er der 5 igen (peger på en ny kolonne med 5).
Det er 10.
Og så er der 10 igen (peger på den øvrige del af rektanglet).
Så det er 10 plus 10.
Heidi: Okay. Tak for det.
Kristian: Jeg har en anden måde.
Heidi: Hvad var din måde?
Kristian: Jeg startede bare med at plusse 4 plus 4. Det er 8.
(peger på figurens rækker)
4 igen. Det var 12. Så en til, så er det 16. Så 20.
Heidi: Så er det 20.
168
Så Mia, hvad skulle der faktisk stå i stedet for 21?
Mia: 20.
Episoden eksemplificerer, hvordan eleverne lyttede til hinandens bidrag og indikerede enighed eller uenighed. I dette tilfælde var flere elever uenige i Mias resultat. Episoden eksemplificerer også, hvordan eleverne forklarede og begrundede deres tænkning. I dette tilfælde forklarede og begrundede Kalle og Kristian deres beregninger. Endelig eksemplificerer episoden, hvordan eleverne gav forskellige forklaringer på de samme beregninger. I klippet var det Kristian, der forklarede, hvordan han havde regnet anderledes end Kalle.
Episoden eksemplificerer samtidig tre centrale sider af Heidis måde at lede klassesamtaler på:
1) Hun stillede spørgsmål, der gav eleverne mulighed for at fokusere på faglige ideer, vi havde udset som centrale. Fx betragtede vi det i modulet med episoden som vigtigt, at eleverne kom til at forbinde deres beregningsmetoder med sidelængderne i de rektangler, de havde tegnet.
2) Hun guidede elevernes input, fx ved at fremhæve aspekter ved dem og ved at korrigere misforståelser. I eksemplet er det mest den sidstnævnte side af denne guidning, der er fremtrædende.
3) Hun inddrog elevernes input i samtalen, som på den måde ikke alene var styret af den dagsorden, Heidi havde valgt, men også af elevernes tænkning om det faglige indhold.
Med elevernes og lærerens måde at indgå i klassesamtaler tegner der sig et billede af en social norm, hvor det var Heidis forpligtelse at lede samtalen og guide elevernes matematiske tænkning på en sådan måde, at elevernes input spillede en afgørende rolle. På den anden side var det elevernes forpligtelse at forklare og begrunde deres forskellige former for tænkning og indikere enighed/uenighed med det, der blev sagt.
18.4. Sammenfatning af forsøgsklassens sociale normer
Sammenfattende tegner min analyse et billede af en deltagelsesstruktur, hvor elevernes bidrag i
iscenesættelser, selvstændigt arbejde og samtaler spillede en afgørende rolle. Disse bidrag omfattede ud over løsningsforslag også forklaringer, begrundelser, ideer til fremgangsmåder, hypoteser om løsninger og
169
modargumenter. Deltagelsesstrukturen bidrog på den måde til, at kommunikationen i klassen ikke alene handlede om bestemte matematiske metoder og resultater, men i langt højere grad om de tanker, der lå bag metoderne og resultaterne og i et vist omfang også om de tanker, der lå bag selve aktiviteterne.
Kommunikationen i klassen var på den måde i tråd med det, Mehan (1979) betegner som
’metaprocesdiskussioner’ og Cobb et al. (1997) som ’refleksive diskurser’.
18.5. Forsøgsklassens sociomatematiske normer
Jeg vil fremhæve følgende tre karakteristiske aspekter ved forsøgsklassens sociomatematiske normer:
1) Når beregninger var knyttet til en kontekst, skulle acceptable matematiske forklaringer referere til denne kontekst.
2) Løsninger på matematiske beregninger blev betragtet som forskellige, når de refererede til konteksten på forskellige måder.
3) Når beregninger ikke var knyttet til en kontekst (eller når sammenhængen mellem konteksten og beregningen var klargjort), skulle acceptable matematiske forklaringer basere sig på egenskaber ved tallene (frem for rene procedurebeskrivelser).
Jeg eksemplificerer og dokumenterer disse karakteristiske træk med udgangspunkt i episoden, der er beskrevet og omtalt i forrige afsnit.
Med hensyn til aspekt 1) kan Heidis kommentar i begyndelsen af den transskriberede del af episoden (linje 5, 8 og 9) tyde på, at hun ikke betragtede Kalles indledende bidrag (’Jeg sagde 10 plus 10’), som en
tilstrækkelig forklaring på, hvordan han havde regnet sig frem til, at der 20 tern i 5 x 4-rektanglet, selv om det naturligvis er korrekt, at 10 + 10 er 20. Heidi fortsatte i hvert fald sine spørgsmål til Kalle, indtil han havde gjort rede for, hvordan ’10 plus 10’ var forbundet med 5 x 4-rektanglet. Det var således ikke Kalles beregning alene, der gjorde hans forklaring acceptabel i Heidis øjne, men hans redegørelse for, hvordan beregningen hang sammen med rektangelrepræsentationen. I samme situation vil det således være forventeligt, at en forklaring som ’fordi 4 gange 5 er 20’, ikke ville blive betragtet som acceptabel af Heidi, men at hun ville acceptere følgende forklaring: ’Jeg kan se på rektanglet, at der 4 gange er 5 små firkanter, og 4 gange 5 er 20’.
170
Med hensyn til aspekt 2) fremgår det af sidste del af transskriberingen, at Kristian betragtede sin løsning på spørgsmålet om antallet af små firkanter i rektanglet som anderledes end Kalles løsning. Det interessante ved det er, at begge elever havde fået det samme resultat. Det var altså ikke resultatet, der gjorde Kristians måde anderledes. Det var heller ikke selve talbehandlingen i Kristians beregning, han fremhævede som anderledes. Det var derimod den måde, Kristian refererede til rektanglet på i sine beregninger, der var anderledes. Kristian havde set en anden struktur i rektanglets tern end Kalle. Derfor blev også den beregning, Kristian foretog (4 + 4 + 4 + 4 + 4) anderledes end Kalles ((5 + 5) + (5 + 5)).
Aspekt 3) kom fx til udtryk i før-interviewet med Sara, som jeg tidligere har omtalt i afsnit 15.2. I dette interview brugte Sara regnestykket 25 + 25, der ikke var forbundet med en kontekst, som et eksempel til at forklare, hvordan hun adderer tocifrede tal. I sin forklaring byggede Sara på den egenskab ved tocifrede tal, at de kan opdeles i 10´ere og 1´ere:
’Så plejer jeg altid at tage 10’erne først. Hvis jeg nu skal regne 25 plus 25 ud, så tager jeg altid, øhm… Så tager jeg altid de to 10’ere, der er, og så holder jeg dem, og så siger jeg bare, hvad 5 plus 5 er. Så giver det 10. Og så er det, at det kommer op på… 50.’
De tre omtalte sociomatematiske normer står i modsætning til normer i klasserum, hvor matematiske forklaringer primært sigter på regnetekniske procedurer, og hvor løsninger betragtes som forskellige, når resultater af opgaver er forskellige. En konsekvens var, at kommunikationen i klasserummet oftest havde begrebsmæssig orientering frem for beregningsmæssig orientering (Thompson et al., 1994).
171