II. Forskning i tidlig algebra
9. Et empirisk studie om tidlig algebra
I dette kapitel beskriver og begrunder jeg først den forståelse af algebraisk tænkning og den
indholdsmæssige tilgang til tidlig algebra, som projektets empiriske studie bygger på. I den forbindelse trækker jeg på redegørelserne i kapitel 4 og kapitel 6. Derefter gør jeg rede for og begrunder den
problematik, som studiet søger at bidrage med viden til. I min begrundelse for det valgte fokus trækker jeg i tillæg på kapitel 5 og kapitel 7. Jeg afslutter kapitlet med studiets forskningsspørgsmål.
9.1. Studiets ramme for algebraisk tænkning
I kapitel 4 beskrev jeg tre forskellige rammeværk for tidlig algebra, som bl.a. repræsenterer mindre forskelle i forståelsen af, hvad der bør karakterisere algebraisk tænkning på de yngste klassetrin. Den forståelse af algebraisk tænkning, der ligger bag dette studie bygger som udgangspunkt på Radfords karakteristik af algebraiske tænkning, men trækker også på både Kierans og Kaputs karakteristikker, specielt på den reformulering af Kaputs karakteristik, som Blanton et al. (2011) har formuleret. I det følgende beskriver og begrunder jeg hvordan.
Jf. Radford (2011, 2014, 2018) betragter jeg algebraisk tænkning som knyttet til ubestemte kvantiteter og til alsidige måder at symbolisere disse ubestemte kvantiteter og deres operationer på. Algebraisk tænkning handler grundlæggende om at behandle sådanne ubestemte kvantiteter på en analytisk måde (se også afsnit 4.4).
Analyse, ubestemte kvantiteter og alsidige måder at symbolisere disse ubestemte kvantiteter kan imidlertid fremtræde på flere forskellige måder i læring og undervisning. Som det fremgår af kapitel 6, kan algebraisk tænkning fx kategoriseres, efter det tænkningen er rettet mod. I forbindelse med kategoriseringen af forskningsforslag til indholdsmæssige tilgange til tidlig algebra, identificerede jeg således to kategorier af algebraisk tænkning, som efterfølgende har formet studiets indholdsmæssige ramme:
1) Algebraisk tænkning rettet mod at generalisere sammenhænge og egenskaber, der på forhånd er ukendte. Til denne kategori er der knyttet følgende tre typer aktiviteter: At identificere,
symbolisere og begrunde generelle sammenhænge.
2) Algebraisk tænkning rettet mod at anvende algebraiske repræsentationer som redskaber. Til denne kategori er der også knyttet tre typer aktiviteter: At oversætte, behandle og tolke i tilknytning til problemstillinger, hvori der indgår ubestemte kvantiteter.
82
Efter min opfattelse afspejler disse to sider af algebraisk tænkning helt centrale aspekter af
matematikundervisning. Set i forhold til den danske læseplan i matematik (ref.) har de to sider samlet set potentialet til at bidrage væsentligt til elevers udvikling af kompetence i problembehandling, modellering, ræsonnement og tankegang, repræsentation og symbolbehandling. Set fra et mere overordnet perspektiv kan elevers udvikling af de omtalte former for algebraisk tænkning potentielt bidrage til at gøre elever i stand til at anvende matematik i hverdagsliv, uddannelsesliv, arbejdsliv og samfundsliv samt som
hjælpedisciplin i andre fag (jf. kapitel 1). Samtidig dækker de to sider, som dokumenteret i kapitel 7, på en meningsfuld måde forskningens forslag til indhold i tidlig algebraundervisning. Desuden har jeg den formodning, at opdeling af algebraisk tænkning i to former for rettethed og tre tilhørende typer af aktiviteter, vil kunne give designere af undervisning, herunder praktiserende lærere, et overskueligt redskab til at fokusere tidlig algebraundervisning på en hensigtsmæssig måde.
Det er på den baggrund, at jeg i dette studie både betragter de to typer af algebraisk tænkning som en ramme for studiet. Denne ramme udgør i tillæg et redskab til at kategorisere og analysere forslag til aktiviteter i tidlig algebraundervisning, og et redskab til at fokusere tidlig algebraundervisning på en hensigtsmæssig måde.
Rammen har store fællestræk med andre rammeværk for algebraundervisning. Kategori 1) harmonerer i store træk med Kaputs kerneaspekt 1 (Kaput, 2008) og Kierans generaliseringskategori fra hendes GTG-model (Kieran, 1996, 2004, 2007). Kategori 1), Kaputs kerneaspekt 1 og Kierans generaliseringskategori handler alle om at generalisere, men mens Kaput (2008) og Kieran (2007) fokuserer på konventionelle måder symbolisere generaliseringerne på (dvs. med variabelnotation), er kategori 1) også åben for ukonventionelle symboliseringer. For elever i grundskolen kan arbejde inden for denne kategori fx handle om at generalisere sammenhængen mellem et antal personer i et lokale og det antal håndtryk, personerne udveksler, hvis alle hilser på hinanden. I en sådan aktivitet kan det være elevernes opgave at identificere, symbolisere og begrunde den generelle sammenhæng, der på forhånd vil være ukendt for dem. I den forstand kan selve målet med aktiviteten være forbundet med det at generalisere. Symboliseringen af den generelle sammenhæng kan fx bestå af en figur og/eller en mundtlig forklaring: ’Hvis det fx er 5 personer, kan man sige 1+2+3+4. Man skal sige 1 plus 2 plus 3 plus osv. … helt op til én under det antal personer, der er.’
83
Figur 9.1. Symbolisering af det antal håndtryk 5 personer kan udveksle.
Symboliseringen kan også (evt. senere i skoleforløbet) være konventionel og angivet med variabelnotation:
𝑓𝑓(𝑛𝑛) =𝑛𝑛(𝑛𝑛−1)2 , hvor 𝑛𝑛 betegner antal personer, og 𝑓𝑓(𝑛𝑛) er antal håndtryk. At begrunde generaliseringen er isoleret set ikke en specielt algebraisk aktivitet, men i lighed med Stephens et al. (2017) betragter jeg det at begrunde som en algebraisk aktivitet, når begrundelserne vedrører symboliseringer af generelle
sammenhænge.
Tænkning, der hører til kategori 2, bygger på situationer, hvor relationen mellem de objekter, der indgår er givet. For elever på 3.-5. klassetrin kan udgangspunktet fx være en tekstopgave, som beskriver nogle bestemte relationer mellem kvantiteter. Opgaven, der tidligere har været vist i afsnit 6.3 og 7.7, udgør et eksempel:
Mike and Robin each have some money. Mike has $8 in his hand and the rest of his money in his wallet. Robin has altogether exactly three times as much money as Mike has in his wallet. How much money could there be in Mike´s wallet? Who has more money? (Brizuela & Schliemann, 2004, s. 35)
Problemstillingen i tekstopgaven kan behandles matematisk, hvis den symboliseres, eller med andre ord:
’oversættes til matematiksprog’. Jeg bruger betegnelsen ’oversætte’ frem for ’symbolisere’, fordi relationen mellem objekterne i problemet allerede er symboliseret i tekstopgaven (i modsætning til symboliseringen i
84
det forrige eksempel). I denne type tænkning er der snarere tale om en form for matematisering, der har karakter af at oversætte fra ét sprog til et andet. Oversættelsen kan antage mere eller mindre konventionel form. I eksemplet kan der fx, som tidligere vist i afsnit 7.7, oversættes til en funktionstabel:
Figur 9.2. Funktionstabel, der symboliserer situationen i tekstopgaven med Mike og Robin.
(Tilpasset efter Carraher et al., 2008, s. 252-253)
Problemstillingen kan belyses gennem arbejde inden for ’matematiksproget’. Det kan fx handle om at aflæse og konkludere ud fra tabellen på figur 9.2 eller om at løse ligning for at afgøre, hvilket beløb i Mikes pung, der medfører, at de to drenge har lige mange penge. Det er sådanne former for aktivitet, jeg
betegner med ordet ’behandle’. Endelig kan problemstillingen besvares ved at tolke resultatet af behandlingen i forhold til den oprindelige problemstilling.
Anvendelsen af algebraiske symboliseringer begrænser sig ikke til problemstillinger i tekstopgaver, men kan også indgå i matematisk modellering og i matematiske ræsonnementer. Kategorien har store fællestræk med Kierans globale, meta-niveau-kategori (Kieran, 1996; 2004;2007), hvor algebra kan bruges som et redskab, men hvor aktiviteterne er ikke udelukkende er algebraiske (se også afsnit 4.1). Kategori 2) har imidlertid også fællestræk med Kierans ’transformerings-kategori’ (Kieran, 1996, 2004, 2007) og med Kaputs kerneaspekt 2 (Kaput, 2008). Dette fællestræk vedrører specifikt det at behandle algebraiske objekter. Hos Kieran og Kaput vedrører behandlingerne symbolmanipulationer, herunder løsning af
ligninger og/eller uligheder. I kerneaspekt 2 er behandlingerne tænkt lidt bredere, så også omfatter brug af tabeller og grafer i koordinatsystem.
85
I et undervisningsforløb kan man, i tråd med Kaput (2008), forestille sig, at en aktivitet, der i første omgang er knyttet til kategori 1) efterfølgende knyttes til kategori 2). Man kan fx forestille sig, at læreren formulerer problemstillinger knyttet til en klasses symbolisering af sammenhængen mellem et antal personer og et antal håndtryk, der udveksles. Et sådan spørgsmål kan fx være: ’Hvor mange håndtryk vil der blive
udvekslet, hvis der er 10 personer tilstede’? Eller: ’Hvor mange personer har der været til stede, hvis der er blevet udvekslet 90 håndtryk´? De aktiviteter, spørgsmålene kan give anledning til, er knyttet til kategori 2), fordi sammenhængen mellem antal personer og antal håndtryk nu er givet. For at besvare spørgsmålene kan eleverne i det førstnævnte tilfælde fx indsætte et tal i en funktionsforskrift, de har fundet frem til, og i den andet tilfælde opstille og løse en ligning, hvis resultat de efterfølgende tolker i forhold til
problemstillingen. I disse eksempler er der mindre behov for oversættelse, idet sammenhængen allerede er beskrevet med matematiske symboler, men der er behov for at behandle symboliseringen og at tolke resultatet af behandlingen. I eksemplerne er det således to ud af tre praksisser i kategori 2), der kommer i spil.
Generelt betragter jeg en aktivitet, som en algebraisk aktivitet, hvis den er rettet mod en eller flere af de i alt seks aktiviteter, der er knyttet til den indholdsmæssige ramme for studiet (se figur 9.1), og involverer ubestemte kvantiteter, analyse og symboliseringer af disse ubestemte kvantiteter og deres operationer (jf.
Radford, 2011, 2014, 2018).
De seks typer aktiviteter, der knytter sig de to kategorier, er inspireret af og har stort fællesskab med de fire praksisser i tidlig algebra, der er beskrevet af Blanton, Ellis og Dougherty (2011), på grundlag af Kaputs karakteristik (Kaput 2008), og som udgør et rammeværk for en gruppe amerikanske forskere i tidlig algebra (Blanton et al., 2018): At generalisere, repræsentere, begrunde og ræsonnere med matematiske strukturer og sammenhænge (se også afsnit 4.2). Som jeg ser det, er den primære forskel, at jeg opdeler ’at
repræsentere’ i to aktiviteter: at symbolisere og at oversætte, fordi der, efter min opfattelse, som jeg har redegjort for i det forrige, er tale om de to lidt forskellige processer, alt efter om den relation, der
symboliseres/repræsenteres er kendt eller ukendt på forhånd. Desuden har jeg erstattet ’at ræsonnere’
med ’at behandle’ og ’at tolke’. Rationalet er, at ræsonnementer kan være en del af alle de seks typer aktivitet, specielt fordi algebraisk tænkning grundlæggende handler om analyse (frem for fx at beregne med konkrete tal eller om at gætte og prøve efter). Desuden betragter jeg det som centrale elementer i algebra, at kunne behandle symboliseringer analytisk og at kunne anvende algebraisk tænkning i
sammenhænge med andre fagområder inden for eller uden for matematikken ved at kunne tolke resultater af denne analytiske behandling af symboliseringer i forhold til det, symboliseringerne refererer til.
86
Sammenfattende kan man sige, at jeg supplerer Radfords rammeværk ved at opdele algebraisk tænkning i to kategorier med i alt seks matematiske typer aktiviteter, som tidlig algebraundervisning med fordel kan rette sig mod. Disse type af aktivitet opfatter jeg som centrale faglige ideer i tidlig algebraundervisning.
9.2. Studiets ramme for matematisk stof
Som det fremgår af kapitel 6, finder algebraisk tænkning sted i sammenhæng med matematisk stof. I min kategorisering af forskningens forslag til indholdsmæssige tilgange til tidlig algebra identificerede jeg, i lighed med fx Stephens et al. (2017) tre kategorier af stof, som algebraisk tænkning på de yngste klassetrin er knyttet til (se afsnit 6.1). I forbindelse med projektets empiriske studie har jeg udvalgt funktionelle sammenhænge som stofområde. Det er der følgende grunde til:
For det første er funktioner et stofområde, der potentielt kan udgøre en rød tråd igennem hele skoleforløbet ved at kæde centrale fagområder sammen og gradvist fokusere på mere og mere komplicerede sammenhænge. Funktioner kan fx danne bro til aritmetik, fordi der indgår aritmetik i anvendelsen af funktioner, og til geometri og måling, fordi funktioner kan beskrive sammenhænge inden for disse fagområder. Det kan fx dreje sig om sammenhænge mellem sidelængder i figurer og disse figurers arealer, rumfang og/eller vinkler. Domænet for funktioner i grundskolen kan udvide sig fra naturlige tal til hele tal, rationale tal og reelle tal igennem skoleforløbet, og kompleksiteten af funktionerne kan udvikles, så de efterhånden kommer til at omfatte lineære funktioner, potensfunktioner, eksponentialfunktioner og trigonometriske funktioner.
For det andet er funktioner et stofområde, der potentielt kan bidrage til, at elever udvikler alsidige kompetencer igennem grundskolens matematikundervisning. Funktioner kan således anvendes til både at beskrive sammenhænge inden for og uden for matematik, fx ved at udgøre matematiske modeller for forhold i omverdenen. På den måde kan funktioner spille sammen med udvikling af
modelleringskompetence (Niss & Jensen, 2002). Samtidig kan funktioner potentielt bidrage til udvikling af kompetencer inden for problembehandling, ræsonnement og tankegang, repræsentation og
symbolbehandling, kommunikation og hjælpemidler (Børne- og Undervisningsministeriet, 2019A). Efter min opfattelse er det, jf. redegørelsen i kapitel 5, kompetencer, der er relevante for borgere i et demokratisk samfund.
For det tredje er funktionelle sammenhænge en tilgang til tidlig algebra, der på den ene side har vist sig lovende og på den anden side stadig er i sin vorden (se også kapitel 7). De lovende aspekter kommer fx til
87
udtryk hos Blanton et al. (2015), der bl.a. har givet eksistensbevis for, at elever helt ned til 1. klasse har kapacitet til dybere former for matematisk tænkning i tilknytning til funktionelle sammenhænge, end man hidtil har troet muligt. Blanton et al. (2015) har imidlertid også påpeget, at der er brug for mere viden om forskellige yngre elevers forståelser af funktionelle sammenhænge mellem to kvantiteter, især på de alle yngste klassetrin.
Figur 9.3 illustrerer studiets ramme for algebraisk tænkning og algebraisk stof.
Figur 9.3. Studiets ramme for algebraisk tænkning og algebraisk stof.
9.3. Studiets fokus inden for rammen
Som det fremgår af kapitel 7, har tidligere studier med fokus på tidlig algebra og funktionelle sammenhænge bl.a. vist, at det er muligt for 6-12-årige elever at generalisere lineære, funktionelle sammenhænge, at repræsentere, begrunde og ræsonnere med disse sammenhænge, herunder at løse ligninger, hvor hver side af en ligning opfattes som en funktion, og at udvikle begyndende forståelser for variable og variabel notation. Sammenfattende kan man sige, at der er evidens for, at det er muligt for elever helt ned til 1. klasse at indgå i den type praksisser, som jeg har fokus på i dette studie (se også kapitel 7).
Der findes imidlertid mindre viden om, hvordan elever i denne aldersgruppe konkret kan udvikle sådanne former for viden og kunnen, og om, hvilke processer i et klasserum, der kan understøtte disse elevers algebraiske tænkning i tilknytning til funktionelle sammenhænge. Som Blanton et al. (2015) formulerer det,
Stof
88
mangler der viden om, hvilke mekanismer, der kan fremme skift i specielt de yngste elevers algebraiske tænkning, i undervisningsforløb, der bygger på funktionelle sammenhænge. Med andre ord: Hvilke processer i et klasserum kan bevirke, at bestemte aspekter af et læringsmiljø komme til at støtte intenderede udviklinger i elevers algebraiske tænkning? Ifølge Cobb, Jackson og Sharpe (2017) kan de omtalte aspekter bl.a. omfatte de opgaver og aktiviteter, en klasse engagerer sig i, de redskaber og symboliseringer, klassen bruger i arbejdet med opgaverne, klasserummets normer og deltagernes kommunikation (se også kapitel 11). Det er denne ’videnskløft’ dette studie adresserer med følgende overordnede forskningsspørgsmål:
Hvordan kan et læringsspor, der fokuserer på funktionelle sammenhænge, støtte 8-10-årige elevers udvikling af algebraisk tænkning?
Besvarelsen af dette spørgsmål implicerer på den ene side en udformning af et læringsspor, der ud over beskrivelse af en gradvis, faglig udvikling af algebraisk tænkning knyttet til funktionelle sammenhænge, omfatter beskrivelser af mekanismer, der kan bidrage til at fremme denne udvikling. På den anden side implicerer besvarelsen af forskningsspørgsmålet en udforskning af læreprocesser hos 8-10-årige elever, der kan forbindes med læringssporet. Studiet søger således på den ene side at bidrage til en lokal
undervisningsteori om, hvordan der på en hensigtsmæssig måde kan undervises i tidlig algebra med funktionelle sammenhænge som tilgang. På den anden side søger det at udforske elevers læreprocesser med en sådan tilgang. Begrebet ’læringsspor’ er en oversættelse af ’learning trajectory’, som antyder studiets metodiske tilgang. Denne tilgang gør jeg rede for i det følgende kapitel.
Inden for den beskrevne indholdsmæssige ramme, fokuserer studiet i særlig grad på følgende underspørgsmål:
1) Hvilke mekanismer kan bidrage til, at 8-10-årige elever kan generalisere
korrespondancesammenhænge ud fra funktionssituationer med lineære sammenhænge?
2) Hvilke mekanismer kan bidrage til, at 8-10-årige elever kan skabe mening i brugen af variable og variabelnotation i forbindelse med lineære sammenhænge?
3) Hvilke mekanismer kan bidrage til, at 8-10-årige elever kan anvende funktionstabeller, grafer og ligninger som redskaber til at løse problemer med og sammenligne lineære sammenhænge?
4) Hvordan og i hvilken grad kan 8-10-årige elever anvende algebraisk tænkning i reelle kontekster?
Underspørgsmål 1) er inspireret af et studie af Blanton et al. (2015), der giver medvind til den opfattelse, at elever på de yngste klassetrin ikke nødvendigvis behøver at udvikle forståelser for variation i én variabel,
89
før de kan udvikle forståelser for sammenhænge mellem to variable (se kapitel 7). Mit studie bygger videre på denne indsigt ved bl.a. at sigte på at belyse mekanismer, der kan bidrage til at 8-10-årige elever, på tilsvarende vis, kan generalisere korrespondancesammenhænge uden de nødvendigvis har generaliseret rekursive sammenhænge først.
Underspørgsmål 2) er inspireret af diskussionen blandt forskere om variable og variabelnotations rolle i tidlig algebra. I studiet tager jeg den position, at variable og variabelnotation skal introduceres tidligt i undervisningen, men at undervisningen bevidst skal sigte på at give eleverne rige muligheder for både at anvende og skabe mening i variable og variabelnotation. Hensigten er at bidrage med viden om, hvilke mekanismer, der, med denne position, kan bidrage til at elever udvikler de tilsigtede forståelser.
Underspørgsmål 3) er inspireret af studier af Carraher, Schliemann og Schwartz, der har demonstreret, hvordan elever med brug af alsidige repræsentationer og en funktionstilgang til ligninger kan sammenligne funktionelle sammenhænge, som de tidligere har identificeret (se kapitel 7). Hensigten er at bygge videre på denne tilgang og belyse de mekanismer, der kan bidrage til, at elever bliver i stand til at anvende de alsidige repræsentationsformer som redskaber på mere og mere sofistikerede måder.
Underspørgsmål 4) udspringer af den erkendelse, at elever i tidlig algebraundervisning typisk arbejder i rene matematiske eller i kontekster med en semi-virkelighed (se afsnit 6.4). Hvis det er en hensigt, at elever fx skal blive i stand til at anvende algebraisk tænkning i modellering er det imidlertid på sigt problematisk, hvis algebraisk tænkning ikke involverer reelle kontekster (Skovsmose, 2003). Det er foreløbig et åbent spørgsmål, hvornår det er muligt og hensigtsmæssigt at begynde undervisning, der er rettet mod anvendelse af algebraisk tænkning i reelle kontekster.
Samlet set er studiet rettet mod lokal undervisningsteori om tidlig algebra med funktionelle sammenhænge som tilgang, dvs. med teori om en mulig læreproces på de yngste klassetrin inden for dette fagområde og med teori om mulige måder at understøtte en sådan læreproces på (Cobb et al., 2003).
Ambitionen er således, at studiet kan primært kan bidrage med teori om, hvordan 8-10-årige elever kan lære algebra og på den måde bidrage til undervisningens praksis. Set i forhold til den eksisterende forskning er et sådant studie relevant, fordi der mangler viden på området. I et mere overordnet perspektiv er det relevant, fordi tidlig algebra potentielt kan bidrage til at imødekomme de udfordringer med algebra, som mange elever verden over har oplevet (se kapitel 5), og i et endnu mere overordnet perspektiv er det
90
relevant, fordi algebra er en nøgle til en dybere forståelse for matematik, der er behov for i et personligt dannelsesperspektiv og i et samfundsperspektiv (se kapitel 7 og afhandlingens del I).
91